[发明专利]提高三角单元计算精度的方法

说明书

本发明涉及一种提高三角单元计算精度的方法，本发明设计了一种全新的三角单元，作为传统有限单元法的补充。本发明方法包括：将几何体划分为若干个三角网格；与几何体边界有交集的单元定义为边界单元，反之则为体内单元，若该三角单元是体内单元W_e，则与该体内单元共边的相邻单元分别是则将单元W_e的插值结点取为这4个单元的所有节点的集合；若该三角单元是边界单元W_e，则将边界单元做镜像，形成了1～2个虚单元，产生了1～2个虚节点，边界单元W_e的插值节点选取边界单元W_e及其相邻单元的所有实节点和所有虚节点中的i₁～i₆即为边界单元W_e的插值节点；采用二阶点插值方法进行三角单元的插值。本发明在工程界有一定的应用前景。

技术领域

本发明涉及一种提高三角单元计算精度的方法。

背景技术

当今世界最强大的数值计算工具非有限单元法莫属了，它广泛运用与土木工程、航空、航天工程、机械制造工程，它的灵活性、鲁棒性、高精度性等优良特点使之备受广大工程师以及科研工作者的青睐。经过几十年的发展，有限元已经衍生出了大量不同类型的方法，根据单元形状的不同，有三角单元法(简称T3单元)，四边形等参元(Q4单元)等。

但是，以上传统单元存在着各自的优缺点，其中包括：

对于三角形T3单元：

优点：拓扑适应性很高，对于实际工程中复杂的几何体都可以用三角单元进行离散；插值简单，由于每个三角单元仅有3个插值节点，可以使用最简单的一次多项式对场变量进行逼近模拟，计算效率较高；

缺点：传统的三角形单元插值精度非常低，三角形单元的应力与应变分量皆为常数，与计算点的位置无关，这与实际不符合，因此,极低的计算精度成了三角单元在工程中大量使用的最大“瓶颈”，目前突破这个“瓶颈”的最主要方法是增大网格划分密度，然而这样带来的后果就是，精度提高幅度有限，但计算负担确大幅增大。若不大幅增加三角单元的个数，提高三角单元计算精度的传统方法是增加单元节点总数，在这个背景下，T6单元应运而生，即对每个三角单元，增加三条边的中点作为插值节点，这样的做法对提高三角单元的计算精度确实有帮助，效果也相当明显，但不良后果就是“T6单元的节点数暴增，是原T3单元的3倍，由此形成的单元刚度矩阵也非常大，每个单元刚度矩阵的宽度是原T3单元的3倍，在求解方程的时候导致计算效率降低了60％左右。

对于四边形角形Q4单元：

优点：单元计算精度高于T3单元，每个Q4单元是由4个节点首尾相连形成的四边形单元，这种单元由于插值节点数增加到了4个点，根据经典的拉格朗日插值理论，Q4单元可以使用非完备二次多项式进行插值模拟，计算精度较T3单元的C0阶提高到了C1阶，因此，是目前工程界的“宠儿”；

Q4单元的刚度矩阵的带宽小于T6单元，但其计算精度接近T6单元；

缺点：几何拓扑适应性较差。对于“凸”形几何体，可以用四边形单元较好的进行离散，但对于“凹”形几何体而言，用四边形单元划分计算域就会遇到困难，四边形单元无法适应“凹”形几何体的边界，从而使数值模拟出现偏差甚至错误，若要很好的适应凹”形几何边界，就需要在边界区域细分网格，这为网格划分工作带来了巨大的困难，同时也增加了计算负担。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明的目的是提供一种在不增加单元节点的基础上，提高三角单元计算精度的方法。

本发明提高三角单元计算精度的方法，包括：

将实际工程中的几何体划分为若干个三角单元；

判断三角单元是否为体内单元；