[发明专利]一种均匀截面梁结构的振动分析方法

摘要

一种均匀截面梁结构的振动分析方法，包括以下步骤：提取梁结构的几何尺寸特性，将梁结构的位移场分离为截面面内位移和轴向位移；对梁结构截面面内位移进行拟合；对梁结构轴向位移进行延展；结合梁结构截面面内位移和轴向位移，计算得到梁结构的整体位移；计算弹性板结构的应变向量和应力向量；计算梁结构的应变能、动能方程、边界能；建立结构拉格朗日能量泛函得到梁结构核心质量矩阵和刚度矩阵。通过迭代循环核心矩阵求得整体的质量矩阵、刚度矩阵以及总体质量矩阵，进而得到结构的特征方程；求解梁结构的特征方程矩阵并计算得到固有频率和振型。本发明方法适用多边界条件、多截面形状梁结构，且精度高、收敛快、计算成本低和计算方法简单。

主权项

一种均匀截面梁结构的振动分析方法，其特征在于，包括以下步骤：(1)提取梁结构的几何尺寸特性，将梁结构的位移场分离为截面面内位移和轴向位移，具体表达式为：Uk(x,y,z)＝Φk(x,z)Fk(y)其中x和z为结构空间沿着梁截面方向的坐标，y为梁轴向坐标，Uk(x,y,z)为梁结构的整体位移，k＝1，2，3分别表示x，y和z三个方向上的分量，Φk(x,z)为截面面内位移，Fk(y)为轴向位移；(2)利用卡诺高阶截取技术对梁结构截面面内位移进行拟合，拟合形式如下：其中，为二维泰勒展开的第τ项；ak0，ak1，ak2，…，akΓ为相应泰勒展开项的系数；b1，b2，h1和h2为梁截面尺寸参数，N为二维泰勒展开的阶次，Γ为二维泰勒展开的总项数；(3)采用改进傅里叶级数对梁结构轴向位移进行延展，具体形式如下：Fk(y)=Σm=-2MbkmΨm(y)Ψm(y)=cosλmym≥0sinλmym<0λm=mπ/L]]>其中，M为改进傅里叶级数的截断项数，m＝‑2,‑1,...,M；bkm代表相应改进傅里叶展开项的系数，L为梁结构的总长度；(4)结合梁结构截面面内位移和轴向位移，计算得到梁结构的整体位移，具体表达式如下：其中，U1(x,y,z)，U2(x,y,z)和U3(x,y,z)分别对应空间坐标x，y和z三个方向上的位移分量，Aτm，Bτm和Cτm为位移分量中相应项的系数；(5)计算弹性板结构的应变向量和应力向量；所涉及弹性板结构的应变向量的表达式为：ε＝[εx,εy,εz,γxy,γyz,γxz]T其中，ε表示弹性板结构的应变向量；上标T表示转置；εx，εy和εz为正应变分量；γxy，γyz和γxz为切应变分量，且有所涉及应力向量的表达式为：σ＝Dε其中，σ表示弹性板结构的应力向量，D为结构材料系数矩阵；(6)计算梁结构的应变能和动能方程，设置虚拟弹簧边界从而获取边界能，具体表达式如下：Vp=12∫{kx0[U1(x,y,z)]2+ky0[U3(x,y,z)]2+kz0[U3(x,y,z)]2}|y=0dxdz+12∫{kxL[U1(x,y,z)]2+kyL[U3(x,y,z)]2+kzL[U3(x,y,z)]2}|y=Ldxdz]]>其中，Vs，Tp和Vp分别为梁结构的应变能、动能和边界能方程；t表示时间，ρ为材料的密度；kx0，ky0和kz0为梁结构y＝0端所设的虚拟弹簧边界的刚度系数，kxL，kyL和kzL为梁结构y＝L端所设的虚拟弹簧边界的刚度系数；(7)建立结构拉格朗日能量泛函Ω＝Vs+Vp‑Tp，然后对系数Aτm，Bτm和Cτm求偏导并令其结果为零，即可得到梁结构的3×3阶核心质量矩阵和刚度矩阵；核心矩阵中的元素如下：其中，Kmnij为核心刚度矩阵，Mmnij为核心质量矩阵；上角标i,j＝1,…,Γ；m,n＝‑2,‑1,0,…,M；下角标a，b和c表示核心矩阵中元素的标号；和表示分别对x和z求一阶偏导，和表示分别对x和z求一阶偏导，Ψm,y和Ψn,y分别表示Ψm和Ψn对y求一阶导数；D11,…,D66为结构材料系数矩阵D中的元素；(8)通过迭代循环核心矩阵求得整体的质量矩阵、刚度矩阵以及总体质量矩阵M，进而得到结构的特征方程；所述质量矩阵和刚度矩阵的求解方法为：指针i，j由1取到N+1循环核心刚度矩阵Kmnpqij得到子子矩阵Kmnpq，指针p，q由1取到P+3循环子子矩阵Kmnpq得到子矩阵Kmn，指针m，n由1取到M+3循环子矩阵Kmn得到总体刚度矩阵K；所述结构的特征方程表达式为：(K‑ω2M)A＝0其中ω为圆频率，A为对应ω的特征向量；(9)求解梁结构的特征方程矩阵并计算得到固有频率和振型。