[发明专利]一种均匀截面梁结构的振动分析方法

权利要求书

1.一种均匀截面梁结构的振动分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)提取梁结构的几何尺寸特性，将梁结构的位移场分离为截面面内位移和轴向位移，具体表达式为：

U_k(x,y,z)＝Φ_k(x,z)F_k(y)

其中x和z为结构空间沿着梁截面方向的坐标，y为梁轴向坐标，U_k(x,y,z)为梁结构的整体位移，k＝1，2，3分别表示x，y和z三个方向上的分量，Φ_k(x,z)为截面面内位移，F_k(y)为轴向位移；

(2)利用卡诺高阶截取技术对梁结构截面面内位移进行拟合，拟合形式如下：

其中，为二维泰勒展开的第τ项；a_k0，a_k1，a_k2，…，a_kΓ为相应泰勒展开项的系数；b₁，b₂，h₁和h₂为梁截面尺寸参数，N为二维泰勒展开的阶次，Γ为二维泰勒展开的总项数；

(3)采用改进傅里叶级数对梁结构轴向位移进行延展，具体形式如下：

其中，M为改进傅里叶级数的截断项数，m＝-2,-1,...,M；b_km代表相应改进傅里叶展开项的系数，L为梁结构的总长度；

(4)结合梁结构截面面内位移和轴向位移，计算得到梁结构的整体位移，具体表达式如下：

其中，U₁(x,y,z)，U₂(x,y,z)和U₃(x,y,z)分别对应空间坐标x，y和z三个方向上的位移分量，A_τm，B_τm和C_τm为位移分量中相应项的系数；

(5)计算梁结构的应变向量和应力向量；

所涉及梁结构的应变向量的表达式为：

ε＝[ε_x,ε_y,ε_z,γ_xy,γ_yz,γ_xz]^T

其中，ε表示梁结构的应变向量；上标T表示转置；ε_x，ε_y和ε_z为正应变分量；γ_xy，γ_yz和γ_xz为切应变分量，且有

所涉及应力向量的表达式为：

σ＝Dε

其中，σ表示梁结构的应力向量，D为结构材料系数矩阵；

(6)计算梁结构的应变能和动能方程，设置虚拟弹簧边界从而获取边界能，具体表达式如下：

其中，V_s，T_p和V_p分别为梁结构的应变能、动能和边界能方程；t表示时间，ρ为材料的密度；k_x0，k_y0和k_z0为梁结构y＝0端所设的虚拟弹簧边界的刚度系数，k_xL，k_yL和k_zL为梁结构y＝L端所设的虚拟弹簧边界的刚度系数；

(7)建立结构拉格朗日能量泛函Ω＝V_s+V_p-T_p，然后对系数A_τm，B_τm和C_τm求偏导并令其结果为零，即可得到梁结构的3×3阶核心质量矩阵和刚度矩阵；核心矩阵中的元素如下：

其中，K^mnij为核心刚度矩阵，M^mnij为核心质量矩阵；上角标i,j＝1,…,Γ；m,n＝-2,-1,0,…,M；下角标a，b和c表示核心矩阵中元素的标号；和表示分别对x和z求一阶偏导，和表示分别对x和z求一阶偏导，Ψ_m,y和Ψ_n,y分别表示Ψ_m和Ψ_n对y求一阶导数；D₁₁,…,D₆₆为结构材料系数矩阵D中的元素；

(8)通过迭代循环核心矩阵求得总体质量矩阵M、总体刚度矩阵，进而得到结构的特征方程；

所述质量矩阵和刚度矩阵的求解方法为：指针i，j由1取到Γ循环核心矩阵K^mnij得到子矩阵K^mn，指针m，n由-2取到M循环子矩阵K^mn得到总体刚度矩阵K，通过相同的方法循环核心质量矩阵M^mnij得到总体质量矩阵M；

所述结构的特征方程表达式为：

(K-ω²M)A＝0

其中ω为圆频率，A为对应ω的特征向量；

(9)求解梁结构的特征方程矩阵并计算得到固有频率和振型。