[发明专利]一种高效离散傅里叶变换方法

摘要

本发明提供了一种高效离散傅里叶变换方法。本发明通过结合降阶DFT运算及蝶形运算，对于任意奇数点的DFT运算，本发明的方法能够通过反复迭代降阶结合蝶形算法实现；而对于偶数点的DFT运算，蝶形化简后为奇数点的，同样能够通过反复迭代降阶结合蝶形算法实现。相比于传统DFT算法，采用更少的复乘法运算，进而大大降低运算的复杂度。该算法架构更加简单、合理，资源开销更少，工程可实现性更高。

主权项

一种高效离散傅里叶变换方法，具体方法为：一、确定要完成的N点向量X＝[x₁ x₂ x₃ … x_N‑1 x_N]的DFT运算的N分解需要经过的迭代次数k(k＝1,2,3,4…)；所述N为奇数，N＝3,5,7…；二、构造旋转因子指数矩阵S：矩阵中各元素定义为S(a，b)＝(a*b)mod N，其中a＝1,2,3…N‑1；b＝1,2,3…N‑1；三、搜索原根m：找出一个原根m，使得当g＝1,2,3…N‑2时，m^g mod N≠1；当g＝N‑1时，m^g mod N＝1；四、构造P向量：利用步骤三搜索到的原根m，P向量的各个元素为P(i)＝m^i‑1mod N，其中i＝1,2,3…N‑1；五、按照P向量的元素顺序，将自然向量[1 2 3 … N‑1]通过元素互换的方式重新排列，得出互换位置关系，根据该互换位置关系，将矩阵S的行的对应位置关系进行行互换，并且，将矩阵S的列的对应位置关系进行列互换，得到新的旋转因子指数矩阵S'；六、构造对角线元素相同的矩阵R：将矩阵S'的各列，按照两两配对的原则进行互换，互换后的矩阵为对角线元素相同的矩阵R；七、DFT降阶运算：将步骤六得到的对角线元素相同的矩阵R的第1行向量[r₁ r₂ r₃ … r_N‑1]取出，分别进行向量及旋转因子ω^k构成的的进行N‑1点的DFT变换运算；其中，ω^k＝e^‑j2pk/N，k＝1,2,3…N‑1；八、判断是否需要蝶形化简，是则进入下一步，否则进入步骤十；九、蝶形化简：将向量Y₁的DFT变换转化为先求点的$Y_{1\_1}=\[x_{r_1+1}{x}_{r_3+1}{x}_{r_5+1}...x_{r_{N-2}+1}\]$和$Y_{1\_2}=\[x_{r_2+1}{x}_{r_4+1}{x}_{r_6+1}...x_{r_{N-1}+1}\]$的DFT计算，将向量Z₁的DFT变换转化为先求和$Z_{1\_2}=\[{\mathrm{\ω}}^{r_2}{\mathrm{\ω}}^{r_4}{\mathrm{\ω}}^{r_6}...{\mathrm{\ω}}^{r_{N-1}}\]$的DFT计算；十、判断迭代次数是否达到k次，是则进入下一步，否则返回步骤一继续完成Y1_1,Y1_2,Z1_1,Z1_2的DFT运算；十一、根据以上步骤中经过的降阶运算和蝶形化简的顺序和次数，对以上过程进行逆运算过程判断，需要先进行蝶形重构则进入下一步，需要先进行升阶运算则进入步骤十三；十二、将第十步向量Y1_1,Y1_2和向量Z1_1,Z1_2的DFT结果进行蝶形重构,求解出Y1和Z1的DFT值；十三、判断是否需要继续进行蝶形重构，是则返回步骤十二，否则进入下一步；十四、对应元素共轭相乘：将上一步向量Y₁和Z₁的DFT变换结果DFT_Y₁＝[p₁ p₂ p₃ … P_N‑1]和DFT_Z₁＝[q₁ q₂ q₃ … q_N‑1]，进行对应点共轭相乘，得到向量$W=\[p_1*q_1^{*}{p}_2*q_2^{*}...p_{N-1}*q_{N-1}^{*}\];$十五、逆傅里叶变换：将步骤十四中所得的向量W经N‑1点的IDFT变换，得到IDFT_W＝[W₁ W₂ … W_N‑1]；十六、结果重构：根据向量X的DFT结果DFT_X＝[x′₁ x′₂ x′₃ ... x′_N]与向量P及向量IDFT_W的映射关系：$x_1^{\′}=x_1^{*}+x_2^{*}+x_3^{*}+...+x_N^{*}$$x_{P\left(1\right)+1}^{\′}=w_1^{*}+x_1^{*}$$x_{P\left(2\right)+1}^{\′}=w_2^{*}+x_1^{*}$…$x_{P\left(N-1\right)+1}^{\′}=w_{N-1}^{*}+x_1^{*}$得出X的DFT结果DFT_X；十七、判断是否需要进行蝶形重构，是则进入步骤十六，否则输出X的DFT结果DFT_X＝[x′₁x′₂x′₃...x′_N]。