[发明专利]一种基于离散分数阶差分的反常扩散模拟方法

摘要

本发明公开了一种基于离散分数阶差分的反常扩散模拟方法，采用描述扩散现象的一维经典扩散方程：定义离散分数阶差分，利用离散分数阶差分将经典扩散方程离散化，根据初边界条件为进行数值模拟。本发明的有益效果是提出了一种新的分数阶离散扩散方程。和利用经典的分数阶扩散方程相比，该扩散模型在保持了离散记忆效应的同时，表达式更为简洁，数值模拟更为便捷。

主权项

一种基于离散分数阶差分的反常扩散模拟方法，其特征在于按照以下步骤进行：步骤1：采用描述扩散现象的一维经典扩散方程：u_t(x,t)＝Ku_xx(x,t)  (1)K为扩散系数，u(x,t)表示随时间和空间浓度函数，u_t(x,t)表示浓度对时间的偏导数，u_xx(x,t)表示浓度对空间的二阶偏导数，a为初始时刻，L为介质长度，方程(1)的初边界条件为，u(x,a)＝f(x),u(0,t)＝φ(t),u(L,t)＝ψ(t)f(x)表示初始时刻浓度空间各点的浓度分布，φ(t)和ψ(t)表示介质二端浓度随时间的变化；步骤2：利用离散分数阶差分：aCu(t):=hΓ(1-v)Σs=ahth-(1-v)(t-σ(sh))h(-v)Δu(sh),t∈(hN)a+(1-v)h---(2)]]>h为时间方向上的差分步长，v为分数阶差分阶数，介于0到1，为分数阶差分算子，(hN)_a+(1‑ν)h为离散集合{a+(1‑ν)h,a+(2‑ν)h,...}，s,t为其中元素，u(t)为定义在该离散集合上的函数，函数σ和分别定义为：σ(sh)＝(s+1)h$t_h^{\left(v\right)}=\frac{\mathrm{\Γ}(\frac{t}{h}+1)}{\mathrm{\Γ}(\frac{t}{h}+1-v)}$步骤3：利用离散化连续方程方法，利用方程(2)将方程(1)离散化为：aCu(t)=Kuxx(x,t+(v-1)h)---(3)]]>方程(3)初边界条件为：u(x,a)＝f(x),u(0,t+(ν‑1)h)＝φ(t),u(L,t+(ν‑1)h)＝ψ(t)  (4)；步骤4：分数阶和分定义如下：${\mathrm{a\Δ}}_h^{-v}u\left(t\right):=\frac{h}{\mathrm{\Γ}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}_{s=\frac{a}{h}}^{\frac{t}{h}-v}{(t-\mathrm{\σ}\left(\mathrm{sh}\right))}_h^{(v-1)}u\left(\mathrm{sh}\right),---\left(5\right)$根据分数阶和分与差分的关系，作用于方程(3)两边，得：$u(x,t)=u(x,a)+\frac{{\mathrm{Kh}}^v}{\mathrm{\Γ}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}_{s=\frac{a}{h}+1-v}^{\frac{t}{h}-v}{(t-\mathrm{\σ}\left(\mathrm{sh}\right))}_h^{(v-1)}\frac{{\∂}^{2}u(x,\mathrm{sh}+(v-1)h)}{{\∂x}^2},---\left(6\right);$步骤5：对用近似差分处理，对空间L进行m等分，i表示各分割节点，Δx表示分割长度，$\frac{{\∂}^{2}u(x,\mathrm{sh}+(v-1)h)}{{\∂x}^2}\≈\frac{u_{i+1}\left((s+v-1)h\right)-{2u}_i\left((s+v-1)h\right)+u_{i-1}\left((s+v-1)h\right)}{{\mathrm{\Δx}}^2},i=1,...,m-1---\left(7\right)$得如下公式：$u_i\left(\mathrm{nh}\right)=f_i+\frac{{\mathrm{Kh}}^v}{\mathrm{\Γ}\left(v\right)}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\mathrm{\Γ}(n-j+v)}{\mathrm{\Γ}(n-j+1)}\frac{u_{i+1}\left((j-1)h\right)-{2u}_i\left((j-1)h\right)+u_{i-1}\left((j-1)h\right)}{{\mathrm{\Δx}}^2}---\left(8\right);$步骤6：结合给定的边界条件(4)，利用公式(8)进行反常扩散模拟。