[发明专利]一种基于离散分数阶差分的反常扩散模拟方法

说明书

技术领域

本发明属于数值模拟技术领域，涉及一种基于离散分数阶差分的反常扩散模拟方法。 

背景技术

扩散方程是常用来描述自然界传热、传质现象。对于多孔介质如织物、煤岩体、土壤等而言，流体常体现出反常扩散的特点。分数阶导数由于具有遗传特性，和反常扩散特征吻合。最近分数阶导数被用于修正扩散方程，不少研究学者提出了时间分数阶的扩散方程^[1-4]，用来描述流体在多孔介质中扩散的复杂性，避免了对于多孔介质复杂结构的刻画。 

然而，分数阶导数算子的遗传特性导致了反常扩散的长历程或长时间计算变得较为困难。寻找高精度的数值模拟方法或新的分数阶导数建模方法成为解决的方法。最近，Atici、Torres^[5,6]等人提出了时标上的分数阶差分。本发明基于该离散分数阶差分方法，首次提出了一种新的离散分数阶扩散方程。和利用经典的分数阶扩散方程相比，该扩散模型在保持了记忆效应的同时，表达式和数值模拟更为简洁，便于工程应用。 

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于离散分数阶差分的反常扩散模 拟方法，解决了经典分数阶导数算子的遗传特性导致了反常扩散的长历程或长时间计算困难的问题。 

本发明所采用的技术方案是按照以下步骤进行： 

步骤1：采用描述扩散现象的一维经典扩散方程： 

u_t(x,t)＝Ku_xx(x,t)     (1) 

K为扩散系数，u(x,t)表示随时间和空间浓度函数，u_t(x,t)表示浓度对时间的偏导数，u_xx(x,t)表示浓度对空间的二阶偏导数，a为初始时刻，L为介质长度，方程(1)的初边界条件为， 

u(x,a)＝f(x),u(0,t)＝φ(t),u(L,t)＝ψ(t) 

f(x)表示初始时刻浓度空间各点的浓度分布，φ(t)和ψ(t)表示介质二端浓度随时间的变化； 

步骤2：利用离散分数阶差分： 

ΔhvaCu(t):=hΓ(1-v)Σs=ahth-(1-v)(t-σ(sh))h(-v)Δu(sh),t∈(hN)a+(1-v)h---(2)]]>