[发明专利]一种基于离散分数阶差分的反常扩散模拟方法

权利要求书

1.一种基于离散分数阶差分的反常扩散模拟方法，其特征在于按照以下步骤进行：

步骤1：采用描述扩散现象的一维经典扩散方程：

u_t(x,t)＝Ku_xx(x,t)  (1)

K为扩散系数，u(x,t)表示随时间和空间浓度函数，u_t(x,t)表示浓度对时间的偏导数，u_xx(x,t)表示浓度对空间的二阶偏导数，a为初始时刻，L为介质长度，方程(1)的初边界条件为，

u(x,a)＝f(x),u(0,t)＝φ(t),u(L,t)＝ψ(t)

f(x)表示初始时刻浓度空间各点的浓度分布，φ(t)和ψ(t)表示介质二端浓度随时间的变化；

步骤2：利用离散分数阶差分：

ΔhvaCu(t):=hΓ(1-v)Σs=ahth-(1-v)(t-σ(sh))h(-v)Δu(sh),t∈(hN)a+(1-v)h---(2)]]>

h为时间方向上的差分步长，v为分数阶差分阶数，介于0到1，为分数阶差分算子，(hN)_a+(1-ν)h为离散集合{a+(1-ν)h,a+(2-ν)h,...}，s,t为其中元素，u(t)为定义在该离散集合上的函数，函数σ和分别定义为：

σ(sh)＝(s+1)h

th(v)=Γ(th+1)Γ(th+1-v)]]>

步骤3：利用离散化连续方程方法，利用方程(2)将方程(1)离散化为：

ΔhvaCu(t)=Kuxx(x,t+(v-1)h)---(3)]]>

方程(3)初边界条件为：

u(x,a)＝f(x),u(0,t+(ν-1)h)＝φ(t),u(L,t+(ν-1)h)＝ψ(t)  (4)；

步骤4：分数阶和分定义如下：

aΔh-vu(t):=hΓ(v)Σs=ahth-v(t-σ(sh))h(v-1)u(sh),---(5)]]>

根据分数阶和分与差分的关系，作用于方程(3)两边，得：

u(x,t)=u(x,a)+KhvΓ(v)Σs=ah+1-vth-v(t-σ(sh))h(v-1)∂2u(x,sh+(v-1)h)∂x2,---(6);]]>

步骤5：对用近似差分处理，对空间L进行m等分，i表示各分割节点，Δx表示分割长度，

∂2u(x,sh+(v-1)h)∂x2≈ui+1((s+v-1)h)-2ui((s+v-1)h)+ui-1((s+v-1)h)Δx2,i=1,...,m-1---(7)]]>

得如下公式：

ui(nh)=fi+KhvΓ(v)Σj=1nΓ(n-j+v)Γ(n-j+1)ui+1((j-1)h)-2ui((j-1)h)+ui-1((j-1)h)Δx2---(8);]]>

步骤6：结合给定的边界条件(4)，利用公式(8)进行反常扩散模拟。

2.按照权利要求1所述一种基于离散分数阶差分的反常扩散模拟方法，其特征在于：所述反常扩散模拟方法为：取初始点a＝0，

u(0,t+(v-1)h)=u(2,t+(v-1)h)=0,f(x)=10x,0≤x≤1;10(x-2),1≤x≤2.---(9)]]>

将其应用到数值公式(8)，由初值条件u(x,0)＝f(x)知

u₀(0)＝f(0),u₁(0)＝f(Δx)＝f₁,...,u_m(0)＝f(mΔx)＝f_m  (10)

由边值条件u(0,t+(ν-1)h)＝u(2,t+(ν-1)h)＝0知，

u₀(h)＝u_m(h)＝0  (11)

利用数值格式(8)，推导出数值解u₁(jh)，u_i(jh)，从而实现反常扩散问题的数值模拟。