[发明专利]一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法

摘要

本发明公开了一种仅仅通过离散分数阶傅里叶变换的相位信息来重建原始信号的方法，属于信号处理技术领域。本发明首先将信号重建问题转化为凸优化问题；然后，对原始信号进行离散分数阶傅里叶变换，并通过改变离散分数阶傅里叶变换的变换矩阵获得不同数目的相位信息；接着，将得到的相位信息进行存储或者传输；最后，利用块坐标下降法和内点法结合的幅度恢复算法，通过合适数目的相位信息将原始信号恢复出来，即重建原始信号。本发明方法利用相同数目下的相位信息包含的信息量大于幅度信息包含的信息量这一理论依据，实现了以较少数目的相位信息重建原始信号的目的。

主权项

一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法，其特征在于，将信号重建问题转化为一个凸优化问题，并利用“幅度恢复算法”解决该凸优化问题，最终实现从离散分数阶傅里叶变换相位信息到原始信号的重建；离散分数阶傅里叶变换，具体包括以下步骤：步骤A、已知连续分数阶傅里叶变换的定义为：Xq(u)=Fq[x](u)=(1-jcotα)2πeju22cotα∫-∞+∞x(t)ejt22cotα-jutcscαdt,α≠nπx(u),α=2nπx(-u),α=(2n±1)π,]]>其中对于离散分数阶傅里叶变换的情况，需要求解Hamiltonian矩阵S和分解矩阵P′，Hamiltonian矩阵S为：其中p是原始信号x的大小，当p为偶数时，可以将任意向量分解为奇偶两部分的矩阵P′为：P′=1220000Ir0Jr00100Jr0-Ir,]]>当p为奇数时，矩阵P′为P′=122000IrJr0Jr-Ir;]]>这里的Ir是r×r的单位矩阵，Jr是r×r的反单位矩阵，即反对角线上的值为1；可以看到矩阵P′满足P′＝P′T＝P′‑1；步骤B、已知上述的矩阵S和P′，计算P′SP′T，可知矩阵P′SP′T是一个块对角矩阵，于是分块得到其中矩阵Ev和Od分别是矩阵P′SP′T的偶特征向量矩阵和奇特征向量矩阵；步骤C、对上述两个矩阵Ev和Od进行特征值分解，结果为和其中，Ev的特征值e1,...,ek组成的矩阵，Od的特征值o1,...,ok组成的矩阵，Ev的特征向量组成的矩阵，Od的特征向量组成的矩阵；再分别对特征值做降序排列，并对对应的特征向量排列得到：这里的e2k[n]和e2k+1[n]是离散Hermite高斯矩阵，它是定义离散分数阶傅里叶变换的重要部分；步骤D、计算变换矩阵Fa，其中ek是步骤C中的离散Hermite高斯矩阵，是与k和a有关的指数函数，(p)2≡pmod2，即p除以2取余数；最后原始信号x的离散分数阶傅里叶变换为Xa＝Fax；令则步骤D中的变换矩阵Fa可以简化为Fa＝Ediag(Λ)aET，这里所需要的计算复杂度为O(p3)；为了减少计算复杂度，将离散分数阶傅里叶变换写做Xa＝Fax＝E(Λa(ETx))，这时的计算复杂度仅为O(p2)；当a＝1时，F1是标准的离散傅里叶变换矩阵。