[发明专利]一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法

权利要求书

1.一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法，其特征在于，将信号重建问题转化为一个凸优化问题，并利用“幅度恢复算法”解决该凸优化问题，最终实现从离散分数阶傅里叶变换相位信息到原始信号的重建；

离散分数阶傅里叶变换，具体包括以下步骤：

步骤A、已知连续分数阶傅里叶变换的定义为：

$X_q\left(u\right)=F_q\[x\]\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{(1-j\cot \mathrm{\α})}{2\mathrm{\π}}}{e}^{j\frac{u^2}{2}\cot \mathrm{\α}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}x\left(t\right)e^{j\frac{t^2}{2}\cot \mathrm{\α}-jut\csc \mathrm{\α}}dt,& \mathrm{\α}\≠n\mathrm{\π}\\ x\left(u\right),& \mathrm{\α}=2n\mathrm{\π}\\ x(-u),& \mathrm{\α}=(2n\±1)\mathrm{\π}\end{array}\right.,$

其中对于离散分数阶傅里叶变换的情况，需要求解Hamiltonian矩阵S和分解矩阵P′，

Hamiltonian矩阵S为：

其中p是原始信号x的大小，当p为偶数时，可以将任意向量分解为奇偶两部分的矩阵P′为：

$P^{\′}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& I_r& 0& J_r\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& J_r& 0& -I_r\end{array}\right),$

当p为奇数时，矩阵P′为

$P^{\′}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& I_r& J_r\\ 0& J_r& -I_r\end{array}\right);$

这里的I_r是r×r的单位矩阵，J_r是r×r的反单位矩阵，即反对角线上的值为1；可以看到矩阵P′满足P′＝P′^T＝P′^-1；

步骤B、已知上述的矩阵S和P′，计算P′SP′^T，可知矩阵P′SP′^T是一个块对角矩阵，于是分块得到其中矩阵Ev和Od分别是矩阵P′SP′^T的偶特征向量矩阵和奇特征向量矩阵；

步骤C、对上述两个矩阵Ev和Od进行特征值分解，结果为和

其中，Ev的特征值e₁,...,e_k组成的矩阵，Od的特征值o₁,...,o_k组成的矩阵，

Ev的特征向量组成的矩阵，Od的特征向量组成的矩阵；

再分别对特征值做降序排列，并对对应的特征向量排列得到：这里的e_2k[n]和e_2k+1[n]是离散Hermite高斯矩阵，它是定义离散分数阶傅里叶变换的重要部分；

步骤D、计算变换矩阵F^a，

其中e_k是步骤C中的离散Hermite高斯矩阵，是与k和a有关的指数函数，(p)₂≡pmod2，即p除以2取余数；最后原始信号x的离散分数阶傅里叶变换为X_a＝F^ax；令则步骤D中的变换矩阵F^a可以简化为F^a＝Ediag(Λ)^aE^T，这里所需要的计算复杂度为O(p³)；为了减少计算复杂度，将离散分数阶傅里叶变换写做X_a＝F^ax＝E(Λ^a(E^Tx))，这时的计算复杂度仅为O(p²)；当a＝1时，F¹是标准的离散傅里叶变换矩阵。