[发明专利]一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种仅仅通过离散分数阶傅里叶变换域的相位信息来重建原始信号的方法，属于信号处理技术领域。

背景技术

自然界中的场景都是三维的，然而照片和电脑屏幕显示的是伪三维的二维平面场景。天文图像检测和地震信号检测，获取的只是这些图像的傅里叶振幅信息，而观察不到希望得到的星云图像或地震反射序列信号。X射线晶体结构分析时，分子结构图中只有结构因子的绝对值大小。电子显微镜或光学显微镜确定物体结构时，相位信息也会明显丢失。然而相位信息中包含图像大量的信息，因此如何利用已知的幅度信息来恢复丢失的相位信息，进而重建图像，成为需要解决的问题。这个问题也被称为相位恢复问题，相应的解决方法我们称为相位恢复算法。一些情况下，图像长期暴露在大气环境或被带有圆形孔径的散焦镜头照射等情况，会使得期望获得的图像的傅里叶幅度被破坏，仅知道变换域的相位信息。因而又引出了利用变换域相位信息恢复幅度信息，最终重建图像的问题。这个问题我们称为幅度恢复问题，相应的解决方法我们称为幅度恢复算法。无论是相位恢复问题，还是幅度恢复问题，都属于信号重建。通常变换域的相位和幅度相互独立，仅从任何一项信息(相位或幅度)重建原始信号似乎是不可能的。然而，Hayes和Oppenheim证明了在某些条件下，上述信号重建问题是可以解决的。

至今，国内外许多专家和学者已经提出了一些解决方法。相位恢复算法如1968年Schiske提出的系列像重构算法、1972年Gerchberg和Saxton提出的GS算法、1982年Fienup提出的Error Reduction算法、1994年Schewchuk提出的Conjugate Gradient算法、1994年Yang和Gu提出的Y-G算法，然而这些算法都是光学系统中由光波强度通过迭代得到相位信息，并重建图像的算法。尽管上述算法在某些特定的情况下可以较好的重构图像，但并不能总是得到一致的鲁棒的结果。幅度恢复算法包括1961年Srinivasan提出的直接法、1968年Goodman和Knight提出的统计算法、1980年Hayes和Oppenheim提出的迭代算法和闭形算法、1983年Levi和Stark提出的凸集投影算法和1992年Behar提出的已知部分相位的信号重建算法。2008年Gang和Orchard提出的基于几何模型估计的信号重建算法。2010年Loveimi等人通过最小二乘误差估计和重叠添加算法实现了语音信号的重建。2013年，Boufounos用标准凸优化和贪婪算法实现了信号的重建，理论和实验的结果都表明从相位信息精确重建原始信息是可能的。上述的这些算法已经被用于声学光学全息技术领域、微电子技术领域、语音信号处理领域和X射线晶体结构测量领域。然而，上述算法的先验条件都是针对原始信号，如信号具有稀疏特性，信号Z变换的零极点分布特性等。

近年来，随着压缩感知、矩阵填充理论和凸优化技术的深入研究和发展，相位恢复问题再次被提出。2008年Candes等人仅通过变换域的幅度信息提出了基于矩阵填充理论的PhaseLift信号重建算法，该算法不仅将幅度的采集个数减少为nlogn，而且在噪声存在的条件下具有鲁棒性。随后，2012年Waldspurger提出了基于凸优化技术的PhaseCut算法，对音频信号处理的仿真结果表明该算法的特性优于PhaseLift算法。PhaseLift算法和PhaseCut算法并没有添加原始信号的先验信息，而是增加了变换矩阵A的维数。当变换矩阵的维数足够时，就可以解决相位恢复问题。

对于先验信息添加在变换矩阵A的幅度恢复算法目前包括经典的Gerchberg-Saxton算法和贪婪算法。

Gerchberg-Saxton算法：首先，找到一个合适的初始值，如X⁰＝diag(u)b。然后，逐个去优化变换域的每个元素，即从而得到较优的解X^N。最后，重建原始信号

贪婪算法：如权利要求书中所述将原始问题转化为其中b是待优化的变换域幅度，分项写下问题：

这个问题的解为：

优化b，首先随机一个初始值再利用式k＝1,...,N逐个优化幅度值。最后得到较优的解

然而，上述的Gerchberg-Saxton算法和贪婪算法需要较多数目的相位信息才可以较好的重建原始信号，而且这两种算法求解的稳定性较差。为了解决这些问题，我们通过压缩感知和矩阵填充理论将幅度恢复问题重述为凸优化问题，利用凸优化技术推导出幅度恢复算法，并最终实现较少数目相位信息下的稳定的信号重建。