[发明专利]基于Spectral/hp型有限元法求解二维非定常或定常对流扩散方程的计算方法

说明书

本发明涉及一种基于Spectral/hp型有限元法求解二维非定常或定常对流扩散方程的计算方法，属于计算流体力学技术领域。分析二维非定常或定常对流扩散方程问题的控制方程；对二维非定常或定常对流扩散方程模型参数设置；根据Spectral/hp型有限元法的数学计算公式，引入二维非定常或定常对流扩散方程相关变量的数值，导入对二维非定常或定常对流扩散方程进行数值计算，求解完毕即可进行可视化处理和误差分析后处理得到数值模拟的L²范数和L^∞范数误差；根据得到的误差分析后处理得到数值模拟的L²范数和L^∞范数误差分别绘制出了速度u的p收敛和h收敛曲线图。本发明较使用其他方法所得结果精度更高的数值解。

技术领域

本发明涉及一种基于Spectral/hp型有限元法求解二维非定常或定常对流扩散方程的计算方法，属于计算流体力学技术领域。

背景技术

流体力学主要研究流体流动的机制。流体力学是一个有着悠久历史的传统领域，无论从科学性的角度还是实用性的角度来看，流体力学都具有不容置疑的重要性。早期，流体力学在发展中取得了很多成就，但没有太多规律可循。

流体力学广泛地渗透于各个方面，涵盖了包括化学工程、大气学、生物工程、土木工程、航空航天、汽车工程、交通运输，发电和转换、材料加工和制造、食品、民用基础设施、机械润滑、燃烧室、聚合物成型、凝固与材料科学、气溶胶电流体动力学、等离子体物理学、人体组织和血管、流体微通道、船舶建造与海上结构、核反应堆的冷却、发动机设计制造等多个行业和领域。数学分析、计算机模拟以及实验均有助于流体力学的发展和进步。流体力学可划分为流体静力学和流体动力学，目前仍有很多尚未完全解决的问题。流体力学中的大多数问题都可以用数学模型简化，并需要根据条件的差别而使用不同的简化方式，然后列出相应的数学方程，然而，流体力学方程中的多变量、多维度、复杂的几何形状、黏性和非线性等特点给流体力学问题的求解带来了很大的困难，实际上只有少量的问题可以用数学的方法求得解析解，绝大多数问题无法得到甚至根本无法找到解析解。为此人们发明并改进了各种求解方法。流体力学按照研究方法可分为理论流体力学(Theoretical FluidDynamics,简称TFD),实验流体力学(Experimental Fluid Dynamics,简称EFD)和计算流体力学(Computational Fluid Dynamics,简称CFD)。理论流体力学只能解决相当少量的问题；实验流体力学虽然结果最符合实际情况，但是经济性比较差。20世纪50年代以来，计算流体力学使流体力学的发展进入了新纪元，由于电子计算机性能的飞速发展和提高，为这一领域带来了更大的活力。计算流体力学中通常采用的离散方法有有限体积法、有限差分法、有限单元法、谱元法、边界元法等。计算流体力学采用电子计算机并利用各种数值算法对流体流动中的各种问题进行数值模拟和数值分析；计算流体力学的前提是将控制流体流动的偏微分方程离散为相应的代数方程，以对原偏微分方程进行近似并离散化，然后再利用各种数值方法去求解离散后的近似方程，以得到原本无法找到解析解的问题的方程的近似数值解，近二三十年来，计算流体力学这一领域随着计算机性能的提升和基于各种数值理论和数值计算方法的发展，以及人们在实际生产生活中对解决各种复杂流动问题的实际需求，人们开发并使用各种商业软件和计算代码来求解各种流体流动问题如在航空航天领域的燃烧室的设计、用以求解计算流体力学问题的数值方法包括有限单元方法(FiniteElementMethod)、有限体积方法(Finite Volume Method)、有限差分方法(FiniteDifferenceMethod)、谱方法(Spectral Methods)和无网格法(Mesh-less method)等。计算流体力学中常用的方法是有限体积法，有限体积法的优势在于推导过程物理概念清晰，离散方程系数具有一定的物理意义，并可保证离散方程具有守恒特性，在内存利用和求解速度上，尤其对于高雷诺数湍流和源项占优流体等大计算量问题这些优点显得更为突出，这一数值方法的最大不足为不易解释离散方程数学性质。有限差分法容易开发成计算机程序和软件，然而在对待复杂物理域的边界时，处理不太容易，因此这一方法只在少量专业代码中得以应用。虽然已有很多数值方法甚至商业软件被用于解决流体力学问题，但由于流体流动问题的复杂性，仍需发展新的方法来对流体力学问题进行数值模拟，提高数值模拟的精度和效率。