[发明专利]病态可分离非线性最小二乘问题的一种解算方法及其应用

说明书

本发明公开了病态可分离非线性最小二乘问题的一种解算方法及其应用，属于测量平差技术领域，使用变量投影法将可分离非线性模型中的线性参数与非线性参数分离开来，结合矩阵的奇异值分解法对两类参数分别求解；所述奇异值分解法中，对分解后的U、S、V三个矩阵中的S矩阵进行修正。将该方法用于高程异常的计算，包括将实验数据代入对数函数拟合模型形成可分离非线性方程组；将矩阵Φ进行SVD分解，Φ＝USV^T，得到其对应的变量投影函数表达式；在最小二乘原则下对基于SVD分解的变量投影函数进行迭代解算，求得非线性参数；处理矩阵S中的奇异值，得到其对应逆阵计算得到线性参数。

技术领域

本发明公开了病态可分离非线性最小二乘问题的一种解算方法及其应用，属于测量平差技术领域

背景技术

病态问题常存在于在大地网平差、变形监测网平差以及GPS定位等测量数据处理中，影响平差成果的精度，其危害性十分严重。分析测量平差中的病态矩阵、减弱病态性对平差成果影响是测量数据处理面临的一个重要课题。病态矩阵往往具有较大的条件数，以其为系数阵构成的方程组的解对微小扰动十分敏感，使得方程组的解数值稳定性较差，对方程求解带来很大的困难。其中，基于奇异值分解的变量投影法能够在一定程度上克服方程组系数阵的病态性，若矩阵病态程度较为严重，通常可采用奇异值截断或修正的方法。然而，无论是单一地对奇异值截断或是先修正后截断方法，都是一种有偏估计方法，而对全部奇异值进行统一修正的方法在降低方差的同时也引入了偏差。

发明内容

本发明公开了病态可分离非线性最小二乘问题的一种解算方法及其应用，以解决现有技术中，奇异值截断方法引入偏差降低平差结果精度的问题。

病态可分离非线性最小二乘问题的一种解算方法，使用变量投影法分离非线性函数中的线性参数与非线性参数，结合矩阵的奇异值分解法对两类参数分别求解；

所述奇异值分解法中，对分解后的U、S、V三个矩阵中的S矩阵进行修正。

优选地，所述变量投影法分离非线性参数的步骤为：

可分离非线性最小二乘问题的模型是非线性函数的线性组合形式，其观测方程用矩阵表示为：

y＝Φβ+r (1)；

式中，为非线性函数，为Φ的每个列向量，包含了模型变量t和非线性参数α＝(α₁,α₂,…,α_n)^T；β＝(β₁,β₂,…,β_n)^T是线性参数；n为非线性参数或线性参数的个数；y为t对应的已知观测数据，观测值个数为m；r为残差向量；

式(1)的求解式为：

将矩阵Φ通过奇异值分解法分解为U、S、V三个矩阵相乘的形式：Φ＝USV^T，令U＝[U₁U₂]，其中U₁、U₂分别为m×r、m×(m-r)阶矩阵，r为Φ的秩；

令式(2)中的β计算按下式：β＝Φ⁺y，结合Φ的奇异值分解式，得变量投影函数如下：

式中，Φ⁺是Φ的广义逆矩阵，r_SVD表示基于奇异值分解的残差向量表达形式；利用LM算法迭代，求解使得残差平方和最小的非线性参数α。

优选地，所述变量投影法分离线性参数的步骤为：

对于良态方程组，求解线性参数β如下式：β＝Φ⁺y (4)；