[发明专利]病态可分离非线性最小二乘问题的一种解算方法及其应用

权利要求书

1.一种局部地区坐标转换参数的解算方法，其特征在于，使用病态可分离非线性最小二乘问题的一种解算方法，包括使用变量投影法分离非线性函数中的线性参数与非线性参数，结合矩阵的奇异值分解法对两类参数分别求解；

所述奇异值分解法中，对分解后的U、S、V三个矩阵中的S矩阵进行修正；

所述对S矩阵进行修正的具体方法为：

(5)如下：β＝Φ⁺y＝VS^-1U^Ty

为非线性函数，Φ⁺是Φ的广义逆矩阵；

令式(5)中的Φ⁺按下式计算：

式中，表示Φ的每个奇异值，m(k)为奇异值的修正项，k为修正参数；

式(5)更换为：

式中，表示Φ的第i个奇异值，表示最小奇异值，表示最大奇异值，s为截断参数，s＜r，k为修正参数；

所述截断参数s的确定方法为：

利用L曲线法确定截断参数s，以为横坐标，为纵坐标，假定函数模型y＝f(x)，以为样本点进行拟合，求解模型参数并绘制曲线，由下式计算曲线的曲率p：曲率最大的点对应的参数s即为截断参数；

所述修正参数k的确定方法为：

利用H-K公式确定修正参数k，可分离非线性最小二乘问题的观测方程为y＝Φβ+r，设(ω₁，…，ω_n)为Φ^TΦ特征根(λ₁，…，λ_n)对应的特征向量，由下式计算修正参数k：

式中，表示中第i个元素，Ω＝(ω₁，…，ω_n)，Λ＝diag(λ₁，…，λ_n)；

所述局部地区坐标转换参数的解算方法，包括：

S1.选取一组点位坐标作为原点，将坐标转换的实验数据代入局部地区坐标转换模型：

式中，(X₁₀，Y₁₀，Z₁₀)，(X₂₀，Y₂₀，Z₂₀)为原点分别在两空间直角坐标系下的坐标值，(X₁，Y₁，Z₁)，(X₂，Y₂，Z₂)表示点位分别在两空间直角坐标系下的坐标值，c为缩放尺度，即线性参数，(α，β，γ)旋转参数，即非线性参数；

S2.将非线性矩阵Φ进行SVD分解，并结合式(3)得到其对应的变量投影函数表达式；

S3.在最小二乘原则下对基于SVD分解的变量投影函数进行迭代解算，求得旋转参数，即非线性参数；

S4.利用式(4)解得缩放参数，即线性参数。

2.根据权利要求1所述的局部地区坐标转换参数的解算方法，其特征在于，所述变量投影法分离非线性参数的步骤为：

可分离非线性最小二乘问题的模型是非线性函数的线性组合形式，其观测方程用矩阵表示为：

y＝Φβ+r (1)；

式中，为Φ的每个列向量，包含了模型变量t和非线性参数α＝(α₁，α₂，…，α_n)^T；β＝(β₁，β₂，…，β_n)^T是线性参数；n为非线性参数或线性参数的个数；y为t对应的已知观测数据，观测值个数为m；r为残差向量；

式(1)的求解式为：

将矩阵Φ通过奇异值分解法分解为U、S、V三个矩阵相乘的形式：Φ＝USV^T，令U＝[U₁U₂]，其中U₁、U₂分别为m×r、m×(m-r)阶矩阵，r为Φ的秩；

令式(2)中的β计算按下式：β＝Φ⁺y，结合Φ的奇异值分解式，得变量投影函数如下：

式中，r_SVD表示基于奇异值分解的残差向量表达形式；利用LM算法迭代，求解使得残差平方和最小的非线性参数α。