[发明专利]一种基于连接关系观测器的复杂网络节点动态分类控制方法

权利要求书

1.一种基于连接关系观测器的复杂网络节点动态分类控制方法，其特征在于：包括如下步骤：

S1、针对无向复杂网络，证明了Riccati矩阵微分方程可以作为无向复杂网络在某些假设条件下的近似线性化的结果，从而证明了针对无向网络而言，使用Riccati矩阵微分方程作为连接关系子系统模型的合理性；

针对无向复杂动态网络，通过一系列的假设条件，证明了Riccati矩阵微分方程是动态方程近似线性化的结果，进而说明了使用Riccati矩阵微分方程作为连接关系子系统模型的合理性；

S2、设计特殊的连接关系子系统的耦合项形式，Φ(z)＝Λ(z)+Λ(z)^T式中的连接关系子系统的耦合项，其中Λ(z)＝J^-1Γ^Tζ(z)J^-1，且||ζ(z)||≤η(t)||z||²，η(t)＞0，使得复杂网络中连接关系子系统和节点子系统相互耦合；

S3、针对连接关系子系统，式中的连接关系子系统状态观测器和式中的鲁棒项，用于观测未知的连接关系状态，设计了连接关系的状态观察测器；

S4、使用连接关系子系统观测器中的信息，设计针对连接关系子系统和节点子系统的控制器，式针对节点子系统和式针对连接关系子系统的控制，实现复杂网络节点的动态分类，使得复杂网络的节点实现动态分类；

考虑由N个节点组成的全实数连接的时变无向复杂动态网络，当不考虑节点与其连线的耦合关系时，孤立的连接关系子系统的动态方程表示为：

其中x_ij(t)表示在t时刻节点i与节点j之间的连接关系；X＝(x_ij)∈R^N×N表示连接关系子系统的状态矩阵，f_ij(X)是关于x_ij的N²元光滑函数，i,j＝1,2,…,N，满足f_ij(X)＝f_ji(X)；

定义1考虑方程(1)，若存在常数矩阵对任意的i,j∈{1,2,…,N}满足f_ij(X^*)≡0，则称X＝X^*为动态方程(1)的平衡矩阵；

记F(X)＝(f_ij(X))_N×N；动态方程(1)写成如下矩阵形式：

因此，由定义1和动态方程(2)可知，当且仅当F(X^*)≡0时X＝X^*为动态方程(2)的平衡矩阵；

如果动态方程(2)式的平衡矩阵X＝X^*在Lyapunov意义下是稳定的，则称动态方程(2)式表示的网络连接关系子系统是稳定的；

考虑动态方程(2)，其平衡矩阵为利用矩阵拉直映射将动态方程(2)转化为向量形式的微分方程考虑动态方程(1)，注意到f_ij(X)＝f_ji(X)，考虑动态方程(1)，f_ij(X)可以表示为如下形式：

f_ij(X)＝δ_ij(x_i1 x_i2…x_iN)+δ_ji(x_j1 x_j2…x_jN) (3)

其中光滑函数δ_ij(·)＝δ_ji(·)，且满足

假设1中的等式(3)说明对于给定的i、j，函数f_ij(X)仅是关于x_ik、x_jk，k＝1,2,…,N的函数，由于x_ij表示第i个节点与第j个节点间的连接关系权重值，因此等式(3)意味着网络中只有“与第i个节点相关的连接关系x_ik，k＝1,2,…,N，”以及“与第j个节点相关的连接关系x_jk，k＝1,2,…,N”影响x_ij的变化率

δ_ij(·)＝δ_ji(·)，因此容易看出记则有由泰勒公式，将函数(3)在处展开可得：

其中，分别表示关于的高阶无穷小；

在泰勒展式(4)式中，忽略高次项得如下近似等式：

考虑如下N个N×N阶实矩阵：

记矩阵其中利用等式(5)和(6)得到动态方程(2)在平衡矩阵X＝X^*处的一次近似：

等式(6)中的N个矩阵都是相等的，即存在常矩阵P满足P_k＝P，k＝1,2,…,N；

动态方程(7)简化为：

即：

考虑包含N个节点的广义符号网络，每个节点i的动态方程满足下式：

其中，z_i＝[z_i1 z_i2…z_in]^T∈Rⁿ代表第i个节点的节点状态向量，A_i∈R^n×n；f_i(z_i)＝[f_i1(z_i1) f_i2(z_i2)…f_in(z_in)]^T∈Rⁿ表示一个连续的非线性函数向量，G_j(z_j)＝[G_j1(z_j1) G_j2(z_j2)…G_jn(z_jn)]^T表示内部耦合非线性函数向量，c_i表示耦合强度，u_i表示施加在节点i上的控制作用，x_ij表示节点i和节点j之间的连接关系权重；

引入向量z＝[z₁^T z₂^T…z_N^T]^T；A＝diag(A₁ A₂…A_N)；c＝diag(c₁Π c₂Π…c_NΠ)，Π∈Rⁿ表示n维的全一向量；X＝(x_ij(t))_N×N；G(z)＝[G₁(z₁)^T G₂(z₂)^T…G_N(z_N)^T]^T∈R^Nn；

结合Kronecker乘积的定义，节点子系统动态方程(9)被改写为：

考虑连接关系子系统满足下面Riccati矩阵微分方程：

其中，P∈R^N×N是一个实数矩阵，Θ为一个已知的常数矩阵，Φ(z)∈R^N×N是连接关系子系统与节点子系统的耦合关系，U为连接关系子系统的控制输入，Y∈R^p×N是连接关系子系统的状态输出，Γ∈R^p×N是输出增益矩阵，

根据拉直运算以及Kronecker乘积的性质，将(11)式改写为：

其中，I_N代表N阶单位矩阵，正定矩阵J∈R^N×N，使得对于任意矩阵Q＞0，满足下列Lyapunov方程：

(P+WΓ)^TJ+J(P+WΓ)＝-Q (13)

其中，证明：从(13)式中，得到：

将(16a)和(16b)式左右两边同时乘以以及并注意到得到：

；

假设Riccati矩阵微分方程(11)中Φ(z)满足下列等式：

Φ(z)＝Λ(z)+Λ(z)^T (18)

其中Λ(z)＝J^-1Γ^Tζ(z)J^-1，且||ζ(z)||≤η(t)||z||²，η(t)＞0；

首先设计下面的状态观测器来对连接关系子系统的状态进行估计：

其中，表示连接关系子系统状态矩阵X在t时刻的估计值；表示状态观测器的输出，表示鲁棒项；

鲁棒项满足：

其中，

使用Kronecker乘积以及拉直运算的相关性质，得：

证明：利用(10)式和(19)式，得到：

选取正定函数它的轨道导数为：

从(23)中可以看出，估计误差E是有界的，且

控制目标：假设X^*∈R^N×N为一个已知的节点可分类网络连接关系矩阵；通过使用状态观测器(19)中的状态以及节点子系统(10)的状态z(t)，为满足Riccati矩阵微分方程(11)的连接关系子系统设计控制U以及为节点子系统设计控制u，使得连接关系子系统的状态X(t)跟踪已知的可分类网络连接关系矩阵X^*，且保证节点子系统的状态有界，进而实现节点分类；

为了实现上述控制目标，选取如下节点子系统控制器u：

选取如下连接关系子系统的控制器U：

记e＝X-X^*，则有：

考虑由(10)所示的节点子系统和满足(11)式的连接关系子系统组成的广义符号网络；为连接关系子系统构建形如(17)的状态观测器；在控制器(24)和(25)的作用下，连接关系子系统的状态X渐近跟踪给定的节点可分类网络连接矩阵X^*，并且节点子系统的状态

证明：选择正定函数其对时间的导数为：

则由(27)式可知：

由(28)式可知，误差系统(26)式中的误差且节点子系统的状态