[发明专利]考虑混合不确定性的颗粒增强材料构件稳健拓扑优化方法

权利要求书

1.一种考虑混合不确定性的颗粒增强材料构件稳健拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)考虑基于颗粒增强材料的构件在制造与使用过程中的以下不确定性：构件基体材料的材料属性、颗粒增强相的材料属性、颗粒增强相在基体中分布的体积分数、构件所受外载的幅值与方向；其中，由于难以获得关于外载的充足样本信息，故将外载的幅值与方向不确定性视为区间不确定性处理；将具有充足样本信息的基体材料材料属性、颗粒增强相材料属性、颗粒增强相在基体中分布的体积分数视为有界概率不确定性处理，并采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性参数；

2)对构件设计域进行离散化，具体为：

简化构件受力情况为二维平面应力状态，保留构件孔洞、同时去除细节几何形状以提高计算效率；将化简的构件置于一规则矩形设计域内，并将该矩形设计域划分为N_x×N_y个正方形单元，其中N_x，N_y分别为沿x,y轴方向的划分数；基于拓扑优化中经典的带罚各向同性材料框架，每一单元赋予唯一设计变量ρ_e∈[0,1],其中e＝1,2,…,N_xN_y；

3)对颗粒增强相在构件基体中的体积分布进行离散化，具体为：

3.1)根据离散设计域指定坐标系，以构件传力方向为x轴，则各单元坐标可唯一确定；颗粒增强材料构件中，颗粒增强相在基体中的体积分数为分层渐变，即颗粒增强相在基体中的体积分数仅沿垂直于构件传力方向发生变化，记该理论变化方式为Vol(y)，是坐标y的连续函数，根据构件实际使用要求进行选择，同一厚度上颗粒增强相的体积分数为常数；考虑该颗粒增强相体积分数在实际生产中的不确定性波动，记实际变化方式为Vol^*(y)，具有有界概率不确定性；

3.2)根据已离散的构件设计域与颗粒增强相体积分数变化方式，计算第i层内、颗粒增强相的平均体积分数Vol^*(i)，其中i＝1,2,…,N_y；i层内全部单元的颗粒增强相体积分数均为Vol^*(i)，是层号i的离散函数；

3.3)使用Halpin-Tsai微观结构模型，计算第i层内各单元杨氏模量与泊松比

3.4)基于拓扑优化中经典的带罚各向同性材料框架，引入罚因子，则第i层内各单元的杨氏模量最终可表达为：

式Eq.1中，E_min分别为3.3)计算得到的第i层内各单元杨氏模量、事先指定的最小杨氏模量允许值，为常数；p是事先指定的常数罚因子；为基于带罚各向同性材料框架构造的第i层内各单元的杨氏模量；

4)对已离散化的结构施加物理约束与几何约束，具体为：

4.1)物理约束包括结构的固定或支持、外部载荷，依据经典有限元方式施加；

4.2)几何约束包括结构中指定的孔洞与强制保留材料的区域，其方法是对于孔洞覆盖的单元所对应的设计变量置ρ_e≡0而要求强制保留材料位置覆盖的单元所对应的设计变量置ρ_e≡1，并在后续优化过程中不改变其数值；

5)颗粒增强材料构件的结构屈服是优化设计目标，在稳健拓扑优化框架内考虑区间与有界概率混合不确定性共同影响下的结构屈服，故可将构件在最差工况下的屈服均值与标准差作为优化设计目标的表征，建立考虑区间与有界概率混合不确定性的颗粒增强材料构件稳健优化设计模型如Eq.2所示：

式Eq.2中，是(N_xN_y)×1维设计向量，ρ_min是设计中给定的各设计变量最小允许值，为常数；X＝(X₁,X₂,…,X_m)^T是m×1维有界概率不确定性向量，其元素包括构件基体材料的材料属性、颗粒增强相材料属性、颗粒增强相在基体材料中体积分布的不确定度；I＝(f₁,f₂,…,f_n,α₁,α₂,…,α_n)^T是2n×1维区间不确定性向量，其中f₁,f₂,…,f_n分别为构件所受n个不确定外载的幅值、α₁,α₂,…,α_n分别为构件所受n个不确定外载的方向角；

是当前设计向量ρ所对应结构的体积；V₀＝N_xN_y是设计域的体积；是所设计结构占用设计域的体积分数，为常数；

K(X)U＝F(I)是构件平衡方程，其中K(X)是(2N_xN_y)×(2N_xN_y)维总体刚度矩阵，使用经典有限元理论构造，其具体数值受有界概率不确定向量X影响；F(I)是(2N_xN_y)×1维节点力矩阵，使用经典有限元理论构造，其具体数值受区间不确定向量I影响；U是(2N_xN_y)×1维节点位移矩阵；

是颗粒增强材料构件在区间不确定向量I作用下、最差工况的屈服值，其计算方式如下：

A)根据经典有限元方法可以将同时考虑区间与有界概率不确定性作用的结构屈服写作Eq.3：

c(ρ,X,I)＝U^TK(X)U＝F(I)^TK^-1(X)F(I) Eq.3

B)定义为通过将有界概率不确定向量X中的每一个概率变量取其均值所得的常值向量，称μ_X为有界概率不确定向量X的均值向量，其中分别为各不确定性X₁,X₂,…,X_m的均值；令结构屈服c(ρ,X,I)中有界概率不确定性向量X＝μ_X，则此时结构屈服仅包含区间不确定性I的影响，可写作c(ρ,μ_X,I)＝c(ρ,I)；同时总体刚度矩阵也为常矩阵，可写作K(μ_X)＝K；

C)将节点力矩阵写成各外载节点力向量之和的形式：

同时有：

式Eq.5中，f_ux＝f_ucosα_u，f_uy＝f_usinα_u分别为外载F_u沿x,y轴方向的幅值分量；e_ux，e_uy分别为对应于外载F_u所作用节点的、沿x,y轴方向的单位节点力向量；

D)根据线弹性假设，n个不确定载荷的总体作用可以等效为各载荷单独作用效果的叠加：

在Eq.6中对不确定载荷的幅值与方向角分别求导可得：

根据Eq.7所得导数信息，分别令求解得即颗粒增强材料构件在区间不确定向量I作用下的最差工况此时最差工况的屈服值可写作

式Eq.2中，分别为在有界概率不确定向量X影响下、最差工况的屈服值的均值与标准差，其计算方式如下：

a)还原中的μ_X为有界概率不确定向量X，此时最差工况的屈服值可写作其中包含概率不确定性；

b)通过Rahman多变量函数的单变量降维方法，最差工况的屈服值可通过下式展开：

式Eq.8中，m是有界概率不确定性向量X中所包含的有界概率不确定性参数个数，X_＜h＞,h＝1,2,…,m按Eq.9定义：

式Eq.9中X_h是第h个有界概率不确定性变量；

c)根据展开式Eq.8，用于计算最差工况屈服值一阶、二阶原点矩的高维积分可以转化为若干一维积分的运算：

式Eq.10、Eq.11中ψ(X_h)是概率不确定性X_h,h＝1,2,…,m的概率密度函数；

d)式Eq.10、Eq.11中的各一维积分采用拉盖尔(Laguerre)积分格式进行计算：

式Eq.12中，t是拉盖尔积分点个数，为事先指定的常数；x^(j),λ^(j),j＝1,2,…,t分别为标准积分点与其对应权重，通过拉盖尔积分规则给出，均为常数；通过在X_＜h＞中令有界概率不确定性变量X_h分别为获得，即其中也均为常数，通过对各积分点的等概率变换计算得到，即

e)最差工况屈服值的均值与标准差可通过Eq.13获得：

6)采用拓扑优化中的标准最优准则法迭代求解Eq.2的考虑区间与有界概率混合不确定性的颗粒增强材料构件稳健优化设计模型，在每一迭代过程中的计算过程具体为：

6.1)按Eq.14定义加权目标函数用于实现的双目标优化：

式Eq.14中，J(ρ)为定义的加权目标函数；w为事先指定的权值，为常数；

6.2)按Eq.15、Eq.16分别计算目标函数与约束函数对各设计变量ρ_e梯度：

6.3)根据所求目标函数与约束函数梯度信息，根据标准最优准则法更新当前设计变量；

6.4)检查本次迭代中目标函数值与上一迭代中目标函数值的差值，对于第一次迭代，该差值被定义为第一代的目标函数值，若该差值小于事先指定的收敛阈值，则称满足收敛条件并输出更新后的设计变量；否则重复步骤6.1)至6.4)。