[发明专利]周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法

权利要求书

1.一种周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：建立周期分布单排桩对平面SV波的散射分析模型，选取周期结构中的一个基本桩体为研究对象，设该桩体为第0号桩体；

步骤2：以平面SV波作为入射波，根据入射波场函数，采用波函数展开法得到0号桩体的散射波场函数；

步骤3：采用Graf加法定理，将其他非0号桩体的贡献，通过对0号桩体的散射波场偏移相应的相位确定，进而得到所有桩体的散射波场；

步骤4：叠加入射波场和所有桩体的散射贡献，包括散射波场和折射波场，得到全空间土体域的总波场表达式；

步骤5：根据边界条件求解待定系数，从而得到无限周期分布桩体模型对平面SV波散射的解析结果。

2.根据权利要求1中所述的一种周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法，具体求解方法与过程为：

以圆频率为ω的平面SV波为入射波，其在整体平面直角坐标系(x，y)中的势函数表达式为：

ψ⁽ⁱ⁾(x,y)＝ψ₀exp[iβ₁(x cosθ_SV+y sinθ_SV)] (1)

其中β₁＝ω/c_β1为土体中横波波数，后文相应的α₁＝ω/c_α1为土体中纵波波数，为简化书写，式中的时间因子exp(-iωt)已略去，下同；

式(1)可转化到极坐标系(r，θ)下，又因为(r，θ)与(r₀，θ₀)相同，因此式(1)在极坐标系(r₀，θ₀)下表示为：

ψ⁽ⁱ⁾(r₀,θ₀)＝ψ₀exp[iβ₁r₀cos(θ₀-θ_SV) (2)

采用Fourier－Bessel波函数展开法将(2)式展开：

其中J_m(x)为第一类Bessel函数，(3)式即为土体自由场的入射SV波波函数展开形式；

当土体存在桩体时，入射SV波会发生散射，由于波型转换，散射波包括P波和SV波两个分量，根据所设桩体排列的周期性，第j号桩体的散射波与第0号桩体的散射波的相位差为exp(iβ₁jbcosθ_SV)，因此在第j号桩体对应的极坐标系(r_j，θ_j)下，第j号桩体散射波的Fourier－Bessel级数形式可表达为：

表示散射波中的P波分量，ψ(r_j，θ_j)表示散射波中的SV波分量，H_n⁽¹⁾(x)为Hankel函数，A_n、B_n、C_n、D_n为散射待定系数，只需要求得所有待定系数即可得到每一个桩体的散射场，叠加后即为整个非连续周期桩体屏障的散射场；

根据多重散射原理，每一个桩体的入射波不仅仅是外入射SV波，还包括其他桩体的散射波；由于各个桩体产生的散射波是在各自的极坐标系下表示的，所以无法直接与外入射波叠加求得全波，因此应用Graf加法公式将极坐标系(r_j，θ_j)下的散射波转换成极坐标系(r₀，θ₀)中的Bessel级数形式，第j号桩体(j≠0)的散射波转换为：

值得注意的是，第0号桩体的散射波是不需要进行坐标转换的，而且不存在相位差，所以第0号桩体的散射波单独表示为：

设和ψ^(r)_j≠0为所有非0号桩体转换后散射波的叠加，即：

其中：

至此，在极坐标系(r₀，θ₀)中统一用Bessel级数形式表示出了外入射平面SV波、0号桩体的散射波和非0号桩体的散射波，叠加后得到土体中全波的表达式，为土体中纵波的全波表达式，ψ(r₀,θ₀)为土体中横波的全波表达式：

由于弹性圆柱实心桩的存在，入射波不但被桩体界面散射到土体中，而且还有部分被折射进入桩体中去，桩体中的折射驻波的位移势可表示为：

其中E_n、F_n、G_n、H_n为待定折射系数，β₂＝ω/c_β2为土体中横波波数，相应的α₂＝ω/c_α2为土体中纵波波数；

该模型为弹性圆柱实心桩，因此边界条件为位移和应力连续条件(r₀＝a时)：

σ_rr1、σ_rθ1、σ_θθ1是由土体中全波产生的应力，σ_rr2、σ_rθ2、σ_θθ2是由桩体内折射驻波产生的应力，用已求得的位移势可表示为：

u_r1、u_θ1是由土体中全波产生的位移，u_r2、u_θ2是由桩体内折射驻波产生的位移，用已求得的位移势可表示为：

其中ε⁽¹⁾₁₁、ε⁽³⁾₁₁、……等是各种波对应力或位移作出的贡献，按照土体中全波和桩体中折射驻波的不同确定α与β的具体取值：

当i＝l时，C⁽ⁱ⁾_n(x)为J_n(x)函数；当i＝3时.C⁽ⁱ⁾_n(x)为H⁽ⁱ⁾_n(x)函数；

至此得到了极坐标系(r₀，θ₀)下应力与位移的全部表达式，利用(20)式的应力位移连续的边界条件，由(21)和(24)、(22)和(25)以及(27)～(30)式联立解方程组，即可求得所有散射和折射待定系数，再将求得的待定系数代入(21)～(30)式中即可求得所有应力与位移。以求解A_n、C_n、E_n、G_n为例，令r₀＝a列方程组(41)：

取足够精度的m＝n，然后可由方程组(41)中4n个方程解得4n个未知系数A_n、C_n、E_n、G_n，同理可求得B_n、D_n、F_n、H_n，此处不再赘述，至此求得所有待定系数，即求得所有桩体的散射场。