[发明专利]基于截断泰勒级数近似的图信号分布式在线重构方法

说明书

本发明公开了基于截断泰勒级数近似的图信号分布式在线重构方法，其特征是，包括如下步骤：1）构建图模型；2）采集数据，构建图信号模型；3）构建凸优化模型；4）Hessian矩阵分解；5）求解凸优化问题。这种方法收敛速度快，而且对问题条件数的鲁棒性更强。

技术领域

本发明涉及图信号处理中的时变图信号采样与重构技术，具体是一种基于截断泰勒级数近似的图信号分布式在线重构方法。

背景技术

近年来，图信号处理已经逐渐发展成为用于分析处在不规则域中的数据的有力工具，例如来自无线传感器网络、交通网络，生物网络和社交媒体的数据。在图信号处理框架中，任意不规则的网络都可以建模为具有相应拓扑结构的图，网络中的数据建模为图上各顶点的信号。作为传统信号处理理论的推广，图信号处理理论将诸如时间序列、图像信号的傅里叶变换和滤波等概念和分析方法扩展到具有更加复杂结构的图上，并由此产生了许多新的研究方向和挑战。在过去的十年里，研究者们已经在图信号处理领域的各个方向开展了大量的研究工作并取得了显著的成果，例如图信号的采样重构、图信号的表示、图滤波与滤波器组、图学习和机器学习等。尽管图信号处理理论已经取得了长足的进步与完善，但由于图拓扑结构的复杂性，仍有许多问题需要进一步解决，例如图信号的采样重构问题尚未得到完美解决，这是因为不规则图上的顶点并没有如常规时间序列一样的唯一确定的排序。

无线传感器网络数据的重构问题可以归结为图信号的采样重构问题，对于时变图信号，其重构方法主要分为两种方式：一种是批量重构方式，另一种是在线重构方式。批量重构方式往往拥有比在线重构方式更小的重构误差，但其计算量和重构时延较高。XiaohanWang首先提出了一种基于图信号空时平滑的分布式跟踪方法，这种方法用于重构带限的低频时变图信号，属于在线重构方式；接着，Lorenzo等提出了一种带限图信号的分布式自适应重构方法-基于LMS算法及其对应的最优采样策略，这种自适应重构方法也能用于缓慢变化的时变图信号；Kai Qiu在时变图信号的空时平滑性基础上首次引入了图信号的差分平滑性概念，并以此提出了一般的平滑时变图信号的批量重构和在线重构两种方法，实验数据表明基于差分平滑先验性假设的图信号重构方法对无线传感器网络数据如温度、湿度等的重构性能良好，具有较大的研究意义。目前基于差分平滑性的时变图信号在线重构方法是基于梯度下降法的，梯度下降法属于一阶算法，不仅收敛速度较慢，而且容易受到Hessian矩阵条件数的影响。

现有的图信号重构方法一般是基于两类算法实现的：集中式算法和分布式算法。对于集中式算法，在系统网络中布置一个计算能力较强的处理中心，其他节点测量数据统一传输到处理中心进行处理然后将处理结果分发给各节点，以此完成优化任务；对于分布式算法，网络中不存在处理中心，各节点通过与邻居节点协同各自进行局部运算，完成信号处理任务。对于无线传感器网络这种自组织网络，网络中可能没有中心节点，并且由于各传感器节点功率限制，各节点往往只能与邻居节点进行通信，在大规模网络中各节点将数据传输到中心节点可能需要多跳，在这些场合集中式算法效率低下且局部通信量较大。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的不足，而提供一种基于截断泰勒级数近似的图信号分布式在线重构方法。这种方法收敛速度快，而且对问题条件数的鲁棒性更强。

实现本发明目的的技术方案是：

基于截断泰勒级数近似的图信号分布式在线重构方法，包括如下步骤：

1)构建图模型：依据无线传感器网络中节点之间的位置关系，将距离每个节点最近的若干个节点作为该节点的邻居，把有N个节点的无线传感器网络建模为一个无向有权图G＝(V,E)，其中V表示图的节点集合，E表示图的边集合，依据节点之间地理距离设置边的权重，一般地，由于距离越近的传感器节点测量的数据(如温度、湿度等)越相似，因此设置边的权值对于节点之间距离呈负相关，为高斯核函数：

其中d_i为节点i的位置坐标，依据边的权值构建对应于图的度矩阵D、加权邻接矩阵W与拉普拉斯矩阵L＝D-W，