[发明专利]基于截断泰勒级数近似的图信号分布式在线重构方法

权利要求书

1.基于截断泰勒级数近似的图信号分布式在线重构方法，其特征是，包括如下步骤：

1)构建图模型：依据无线传感器网络中节点之间的位置关系，把有N个节点的无线传感器网络建模为一个无向有权图G＝(V,E)，其中V表示图的节点集合，E表示图的边集合，依据节点之间地理距离设置边的权重，设置边的权值对节点之间距离呈负相关，为高斯核函数：

其中d_i为节点i的位置坐标，依据边的权值构建对应于图的度矩阵D、加权邻接矩阵W与拉普拉斯矩阵L＝D-W，

图拉普拉斯矩阵满足如下正交对角化：

L＝UΛU^T                (2)，

其中，变换矩阵U为图傅里叶变换矩阵，Λ是一个对角矩阵，其特征值为图频率，上标T表示转置，L的特征值λ_i由小到大排列分别表示图信号的低频与高频；

2)采集数据，构建图信号模型：采集一段时间内无线传感器网络中部分节点的数据，并建模为空时平滑的时变图信号，即：

其中，y_t为观测信号，为实际信号，n_t为观测噪声，S_t为对角的采样矩阵，满足如下条件：

将数据建模为时变图信号Y＝[y₁ y₂…y_T],

根据图傅里叶变换图拉普拉斯二次型满足如下转化：

3)构建凸优化模型：采用差分图拉普拉矩阵二次型描述时变图信号的空时平滑性：

进一步把t时刻的图信号的在线重构问题转化为如下无约束的最小二乘优化问题：

其中，S_t与L分别为采样矩阵和图拉普拉斯矩阵，y_t为观测信号，上标T表示转置，为t-1时刻重构信号，λ为可调整的正参数；

4)Hessian矩阵分解：对优化问题的目标函数求二阶导，求出目标函数的梯度与Hessian矩阵，然后对Hessian矩阵进行分解，并对Hessian逆矩阵作泰勒级数展开，即：

对优化问题的目标函数分别求一阶导与二阶导，得到目标函数的梯度为：

梯度g_t为一个N维列向量，

目标函数的Hessian矩阵为：

H_t＝S_t+λL               (9)，

H_t为目标函数的二阶信息，是一个N阶正定矩阵，

对Hessian矩阵进行分解：

其中，D和W分别为图的度矩阵与加权邻接矩阵，K_t为经分解得到的正定对角矩阵，

依据矩阵级数其中I为单位矩阵，对Hessian逆矩阵作泰勒级数展开：

5)求解凸优化问题：将截断泰勒级数作为Hessian逆矩阵的近似，并代入牛顿法迭代公式对优化问题进行迭代求解直至满足迭代终止条件，即：

将截断泰勒级数作为Hessian逆矩阵的近似为：

其中，M为泰勒级数阶数，反映近似矩阵对的近似程度，

将近似Hessian逆代入牛顿法迭代公式对优化问题进行迭代求解直至满足迭代终止条件，最终求得重构信号迭代公式为：

其中，为t时刻目标函数的近似下降方向，n为迭代次数。