[发明专利]一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法和系统

说明书

本发明公开了一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法和系统。方法包括：A.接收对于四次方程各项系数的配置，在接收到第一触发信号后，继续运行；B.在判断四次幂项系数不为零时，继续运行；C.判断四次方程是否有复数根，若是，则执行D，否则执行E；D.删除复数根，执行E；E.将四次方程化为标准形式方程，并计算出燕尾突变在控制空间上的奇点集；F.根据所计算出的奇点集，绘制出燕尾突变以及其在控制空间上的投影。系统包括系数接收单元、触发单元、运算单元、提示单元和展示单元。本发明增加了针对不同势函数具体突变形态的处理，能自动判别有无复根，把方程化为标准形式，并选取合适的区域绘制燕尾突变及其在参数平面上的投影。

技术领域

本发明涉及计算机绘图领域，尤其是一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法和系统。

背景技术

燕尾突变是Zeeman^[1]在1976年提出的,关于势函数中三个参数(a、b和c)的变化而产生的分岔形态。它对应的标准突变方程(势函数一阶导数为零)为x⁴-a-bx-cx²＝0，其中a、b和c作为控制变量构成三维控制空间,x作为反应变量构成一维行为空间。标准突变方程所描述的曲面是四维“超曲面”，不能直观画出图像，它的奇点集(势函数一阶、二阶导数为0)用如下方程组表示

燕尾突变作为突变理论中的一个重要突变形式，在科研领域有广泛的应用。然而前人的图形大都是定性手绘的，对不同势函数的具体突变形态缺乏准确的绘制^[3]-[7]。

目前显示燕尾突变非线性分岔的常用软件是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的GeoGebra动态数学软件^[2]。它需要输入燕尾突变参数方程，单击回车键执行程序并作图。运行需要以下步骤(只包含主要步骤)：

输入燕尾突变参数方程：a＝Curve(2c*t-4t^3,-c*t^2+3t^4,t,-5,5)；

执行命令，得到燕尾突变分歧点集的截线。

用GeoGebra软件绘制的二维图形如图1所示。现有的GeoGebra软件没有直接针对势函数的平衡曲面方程来计算燕尾突变形态，也没有相关的三维曲面变化的显示，仅限于在设定的控制空间截面上计算经典形式的突变形态。这样的理想概念模型不能满足对于具体突变问题进行诠释的需要，极大地限制了软件的应用范围，因此前人论文中引用的图形还存在许多定性手绘的情况。

参考文献：[1]E.C.Zeeman,Catastrophe Theory,Scientific American,April1976；pp.65–70,75–83.

[2]PetrGeoGebra for Secondary School Physics[J].Journal ofPhysics:Conference Series,2019,1223(1).

[3]李树钟,曹志松.基于燕尾突变理论及层次分析法充填站址方案选择[J].化工矿物与加工,2016,45(10):42-46.

[4]胡万欣,胡骥,高永鑫.基于燕尾突变理论的拥挤控制模型研究[J].公路与汽运,2013(02):34-36.

[5]M.K.D.K.Piyaratne,Huiyan Zhao,Qingxiang Meng.APHIDSim:A populationdynamics model for wheat aphids based on swallowtail catastrophe theory[J].Ecological Modelling,2013,253.