[发明专利]一种统一的概率区间混合不确定性传播分析方法

说明书

本发明提供一种统一的概率区间混合不确定性传播分析方法。该方法是一种非嵌入式的不确定分析方法，可以高效计算MEMS结构响应在混合不确定条件下的均值和标准差区间。随机不确定性和区间不确定性将在一个统一的模型中进行考虑，每个不确定变量对应的正交多项式根据变量类型进行选取，其中混沌多项式用于描述随机不确定性，切比雪夫多项式用于描述区间不确定性。本发明建立了一种统一的混合不确定性分析模型，避免了传统混合不确定性分析中的分步计算，直接通过一次多项式展开、采样以及系数计算即可获得所求响应矩的区间信息。在保证精确度的情况下，有效提高了分析的效率，减少了高维不确定性分析问题的计算量。

技术领域

本发明属于混合不确定性分析方法领域，涉及一种统一的概率区间混合不确定性传播分析方法。

背景技术

微机电系统(Microelectromechanical systems,MEMS)是一种微型的机电结构，因其微型化、智能化、多功能、高集成度等优点，被广泛应用于各个工程领域。常见的产品包括MEMS加速度计、MEMS麦克风、微马达、MEMS压力传感器、MEMS陀螺仪等。MEMS技术的研究是一个多学科交叉的前沿性研究领域，目前已经取得了一系列的研究成果。然而，在现有的研究中，基本上都是基于确定性的假设，没有考虑到参数的不确定性。事实上，在实际工程问题中，往往存在着与材料、载荷、几何尺寸等相关的不确定性，且这些不确定性往往对结构设计和分析有着重要的影响，尤其是对于结构非常微小和精细的MEMS设备。因此，在MEMS的分析和研究中，有必要考虑到这些参数的不确定性。

不确定性通常分为随机不确定性和认知不确定性，随机不确定性又称作概率不确定性，主要是通过概率分布来进行描述。认知不确定性是一种主观不确定性，主要是来源于信息的不完备，认知水平局限和知识缺乏，一般较多的采用区间方法来进行描述。随着人们对结构安全性设计要求的不断增长，工程结构中往往存在一类更具一般性的且更为复杂的概率-区间混合不确定性问题，其中有一部分不确定参数可根据已经获得的大量数据来得到其精确的概率分布，另外一部分参数则因为信息不完全只能获得其变化区间。在结构不确定性分析和优化设计中考虑概率-区间混合不确定性，已经也有了较多的研究成果出现。

目前已有的概率区间混合不确定性传播方法大致有3类。第一类是基于泰勒展开的混合不确定分析方法，包括一阶泰勒展开以及二阶泰勒展开。一阶泰勒展开较为高效，在工程问题中得到了广泛的应用，然而，在针对非线性程度较大的问题时，一阶泰勒展开的精度通常难以保证；二阶泰勒展开虽然精度上有所提升，但是二阶导数求取较困难，在实际工程问题中不易使用。第二类主要是基于降维分析方法，例如单变量降维方法，双变量降维方法以及多变量降维方法等。这一类方法可以把高维问题等效转化为一系列低维问题，可有效缓解高维不确定性分析的计算压力。但是，对于一些有较多交叉项的问题，单变量或者双变量的降维方法也很可能降低分析的精度，而多变量的降维方法又会增加较多计算量。第三类主要是基于正交多项式，例如埃尔米特多项式、切比雪夫多项式、盖根宝多项式等。这一类模型可以较好地近似不确定性函数，得到较为精确的响应结果，但是在基于正交多项式的建模中，往往需要求解多项式的系数，其计算量随着不确定变量的增加会有指数形式或者级数形式增长。因此效率问题是这一类模型一个主要缺陷，尤其是针对较多不确定变量的高维问题。

传统的基于正交多项式的概率区间混合不确定分析方法(例如混沌多项式切比雪夫区间方法,PCCI)一般都是分两步进行计算，在第一步中，首先将区间变量看做常数，对功能函数进行混沌多项式展开；在第二步中，则把混沌多项式展开系数看做区间函数，进行切比雪夫区间展开：

其中α和β分别表示随机和区间不确定变量的索引指标集合，根据公式(24)和(25)，可知p阶PCCI展开的项数为：

最后，将采用两次最小二乘法来计算展开系数c：