[发明专利]一种统一的概率区间混合不确定性传播分析方法

权利要求书

1.一种统一的概率区间混合不确定性传播分析方法，其用于对无源MEMS压力开关进行分析，包括如下步骤：

(1)建立输出响应关于混合不确定变量的功能函数，其表达式为：

Z＝f(X,Y) (1)

其中X为n个随机变量X_i组成的随机变量，n＝2，X₁为无源MEMS压力开关的感压膜片的厚度，X₂为无源MEMS压力开关的硅岛的厚度；Y为m个区间变量Y_i组成的区间变量，m＝2，Y₁为无源MEMS压力开关的硅岛的长度，Y₂为无源MEMS压力开关的长度；

(2)将步骤(1)中的随机变量X转化为标准正态随机变量ξ～N(0,1)，将区间变量Y转化为标准区间变量η∈[-1,1]，原功能函数也由原空间转换到标准空间中：

Z＝f(X,Y)＝g(ξ,η) (2)

(3)确定正交多项式展开的阶数p；

(4)根据展开的阶数以及不确定变量的个数，确定索引指标集合χ：

其中||·||表示1范数，具体可写为索引指标集合χ由两个部分组成，包括与随机变量有关的一部分以及于区间变量有关的索引指标集合由整数组成，其中一共包括n+m个整数，分别对应于n个随机变量以及m个区间变量；

(5)确定索引指标集合所对应的多项式展开项数s：

(6)将一个包含n个随机变量以及m个区间变量的多维功能函数，进行p阶正交多项式展开：

其中Φχ(ξ,η)表示由多维索引指标索引的多变量正交多项式，包括由χ₁索引的随机混沌正交多项式以及由χ₂索引的区间切比雪夫正交多项式；因此，上式可进一步表示为：

其中表示多变量的埃尔米特混沌多项式，表示多变量的切比雪夫多项式；

(7)求解步骤(6)多项式展开系数

(8)在公式(6)中，把包含区间参数的多项式项看作常数系数，包含随机参数的多项式进行合并同类项，有：

(9)计算步骤(8)中功能函数的均值和标准差：

在公式(7)中，根据埃尔米特多项式的正交特性，可以得到g(ξ,η)的均值和标准差如下：

由切比雪夫多项式的三角函数特性，得知：

因此，

由于切比雪夫多项式一般不会全部同时取到-1或者1，因此公式(12)和(13)可能会带来一定的过保守估计，因此，基于显式的展开式，可采用扫描法对区间函数(8)和(9)进行计算，得到相对紧凑的均值和标准差的区间：

。

2.根据权利要求1所述的一种统一的概率区间混合不确定性传播分析方法，其特征在于，步骤(6)中可以由单变量的埃尔米特正交多项式得到：

其中单变量的埃尔米特正交多项式满足正交关系：

其中表示克罗内克(Kronecker)函数，i₁以及i₂表示中的任意两个阶次的取值，w(ξ)表示随机变量的边缘分布；

可以由单变量的切比雪夫正交多项式得到：

其中单变量的切比雪夫正交多项式满足关系：

。

3.根据权利要求1所述的一种统一的概率区间混合不确定性传播分析方法，其特征在于，步骤(7)包括：

①采用配点法对系数进行计算，多项式的展开项有s项，其对应的展开系数也有s个，理论上，通过s个样本点即可计算出s个系数，但是，如果我们仅采用s个样本点，可能会造成计算结果的不稳定，因为每一个样本点都可能对计算结果有着较大的影响，为了计算的稳健性，所选择的样本点的数量需要大于所求的系数数量，一般推荐采用系数个数两倍数量的样本点，将所选的2s个样本点记为：

(ξ⁽¹⁾,η⁽¹⁾),(ξ⁽²⁾,η⁽²⁾),…,(ξ^(2s),η^(2s)) (20)

②步骤①中样本点将从高一阶次的正交多项式零点中选取，对于p+1阶次的单维的埃尔米特正交多项式以及切比雪夫多项式，可求解得到其p+1个零点，于是，则可以通过组合得到多维随机不确定性空间中的零点数量(p+1)ⁿ个，以及多维区间不确定性空间中的零点数量(p+1)^m个；

③对于2s个输入样本点，功能函数相应地有2s个输出响应，将这些输出响应记为向量g(ξ,η)：

g(ξ,η)＝[g(ξ⁽¹⁾,η⁽¹⁾),g(ξ⁽²⁾,η⁽²⁾),…,g(ξ^(2s),η^(2s))]^T (21)

④根据采样点所对应的输入输出信息，采用最小二乘法计算展开系数的值：

g_χ＝(R^TR)^-1R^Tg(ξ,η) (22)

其中g_χ表示展开系数所组成的向量，R表示如下样本转化矩阵：

。