[发明专利]基于Schatten Capped p范数的数据恢复方法

说明书

本发明公开了一种基于Schatten Capped p范数的矩阵补全方法，包括以下步骤：S1，对输入的不完备数据矩阵求出其对应的正交映射算子所述的正交映射算子表示数据矩阵D的对应项不为空的位置的集合；表示恢复后的矩阵；S2，定义矩阵的Schatten Capped p范数其中表示截断参数，θ_i表示矩阵的第i个奇异值，p表示幂指数，p∈(0，1]；S3，求解下式的最优化问题，直至收敛，输出补全的数据矩阵s.t.E_Ω＝X_Ω‑D_Ω,X＝W，其中，W为等价变量，γ为惩罚参数。通过本发明的方法进行矩阵补全，使得数据矩阵是低秩的，而且可以保证主要信息不损失，数据恢复精度高，即本发明对于具有低秩性质的不完备矩阵有很好的恢复效果。

技术领域

本发明涉及一种基于Schatten Capped p范数的数据恢复方法，属于数据恢复技术领域。

背景技术

在机器学习和数据挖掘工作中，诸如计算机视觉、协同过滤、信号处理、推荐系统等领域，工程师往往会根据低维特征(部分信息)大概率地恢复出高维信息(原始数据)，此类工作可以进行的原因就是原始信息抽象出的数据具有稀疏或者低秩的特点，向量的稀疏性对应于矩阵的低秩性。矩阵填充正是低秩性质最经典的应用之一。

矩阵填充处理的问题是事先假定数据矩阵是低秩的，矩阵元素间有相关性，那么缺失的数据就可以根据最小化矩阵的值用观测的数据恢复出来。对于给定一不完备的矩阵D是低秩的，该矩阵的填充问题可以描述为如下：

矩阵并且Ω是与观测项相关的位置集合，即D是观测数据(observeddata)，是不完备数据(incomplete data)，而X是最终补全的数据。由于秩函数是非凸的且不连续的，所以上述公式(1)的最小化问题是NP难问题。通常的对于公式(1)的解法是将秩函数用核范数来代替，因为理论证明核范数是秩函数的最紧凸下界，而且核范数是凸的连续函数。秩函数和核范数的关系类似于l₀范数和l₁范数的关系，虽然最小化核范数的矩阵补全问题是凸的，在全局可以找到最优解，但是这种凸松弛可能会和原始的数据有较大的偏差，因此需要找到一种更好的近似方式。

对于核范数的近似，往往需要牺牲凸函数的性质，以求获得更好的效果。其中Schatten p norm和Capped norm受到了很多学者的关注，这两大类范数都是秩函数非凸的近似。但Schatten p norm将每一个奇异值都考虑进来，不符合低秩的特点(对于较小的奇异值，往往有噪声，应该去掉，如果保留会使得恢复效果变差)，Capped norm则是只考虑了秩的大小，可能会将一些信息丢失(Capped norm本质是将较小的奇异值置为0，将较大的奇异值减去一小部分，这样虽然使得秩降低了，但也损失了一些主要信息)，从而导致数据恢复的效果较差。此外，现有的TNNR-APGL算法、Logarithm-ADMM算法和Logarithm-IRNN算法也通常用于矩阵补全，进行数据的恢复，但是整体而言，它们的数据恢复质量仍然不够理想。因此需要进一步改进。

发明内容

本发明的目的在于，提供一种基于Schatten Capped p范数的数据恢复方法，它可以有效解决现有技术中存在的问题，实现数据的高精度、高质量恢复。

为解决上述技术问题，本发明采用如下的技术方案：一种基于Schatten Capped p范数的数据恢复方法，包括以下步骤：

S1，对输入的待恢复的原始数据的不完备数据矩阵求出其对应的正交映射算子所述的正交映射算子表示数据矩阵D的对应项不为空的位置的集合(同理表示数据矩阵D对应项为空的位置的集合，所以Ω+Ω^c＝ones(m,n))；表示恢复后的矩阵；

S2，定义矩阵的Schatten Capped p范数其中表示截断参数，θ_i表示矩阵的第i个奇异值，p表示幂指数，p∈(0,1]；