[发明专利]一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法

权利要求书

1.一种计算含压电材料机械臂动力学响应及控制的仿真方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、设定中心刚体、柔性悬臂梁和压电材料的几何参数和材料参数，建立含压电材料的中心刚体-柔性悬臂梁系统，转入步骤2；

步骤2、用混合坐标法在浮动坐标系中描述含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统的大范围旋转运动的变形场，转入步骤3；

步骤3、基于假设模态法，对柔性悬臂梁在大范围运动下产生的变形进行离散，转入步骤4；

步骤4、运用虚功原理和第二类Lagrange方程推导出刚-柔耦合动力学方程，转入步骤5；

步骤5、输出柔性悬臂梁端点变形随时间变化的示意图；

所述步骤1中，含压电材料中心刚体-柔性悬臂梁系统中，中心刚体为圆盘，半径为R；柔性悬臂梁长l、宽b、厚度h、密度ρ₀、弹性模量E₀；压电材料的长l、宽b、密度ρ₁、弹性模量E₁，压电材料包含两个压电层，在柔性悬臂梁旋转方向两面各复合一层压电层，压电层厚度均为h_p，两个压电层的横截面与柔性悬臂梁的中轴线垂直，不计横截面转动惯量与剪切效应；

步骤2中，首先进行基础的柔性悬臂梁建模，转动惯量为J_h的中心刚体绕O₀Z₀轴旋转，在其侧边固定一根柔性悬臂梁，O₀X₀Y₀Z₀为惯性坐标系，输入力矩τ；在中心刚体与柔性悬臂梁连接处建立浮动坐标系O₁X₁Y₁，并以柔性悬臂梁的中轴线为O₀X₀轴；O₁X₁轴与O₀X₀轴夹角为θ，点P及点C是柔性悬臂梁上任意一点P₀及其对应中轴线的点C₀变形移动后的位置；

柔性悬臂梁上点P变形后的矢径r在惯性坐标系O₀X₀Y₀Z₀中表示为

r＝Θ(r_R+r₀+u) (1)

这里，浮动坐标系O₁X₁Y₁与惯性坐标系O₀X₀Y₀Z₀的联系的建立采用方向余弦矩阵，即式中的Θ，表示为

其中，r_R是中心刚体质心O₀到参考基原点O₁的矢径，它在惯性坐标系内表示为[R 0]^T；P₀在惯性坐标系中的矢径是r₀，其坐标表示为[x y]^T；点P₀在惯性坐标系中的变形矢量是u，其坐标分量表示为[u v]^T，即

式中，u₁是柔性悬臂梁中轴线上点C₀的轴向变形位移，u₂是径向变形位移；其中有一项特殊变形量，即二次非线性耦合变形量，其指的是柔性悬臂梁在形变过程中径向变形引起轴向缩短；以往的模型在建模过程中没有考虑此项，即零次近似耦合模型，零次近似耦合模型仅仅适用于低速或静止的结构力学研究；二次耦合项的推导过程如下：

在柔性悬臂梁中轴线上选取一段微元M₀N₀，微元的两个端点在浮动坐标系O₁X₁Y₁中的坐标为M₀(ξ,0)和N₀(ξ+dξ,0)；微元变形后写成MN，其长度ds为

式中，

微元长度

不考虑δ三次以上的项，对上式二项式展开得到

积分得

微元构成的弧长

柔性悬臂梁的轴向形变量w₁为实际变形量，于是得

令于是得到最终变形场表达式

其中w_c即为二次耦合项；

两个压电层的物理模型与变形场的建立由柔性悬臂梁推得：

式中，u_p1为一个压电层中轴线上任一点p₁在惯性坐标系中的变形矢量，u_p2为另一个压电层中轴线上任意一点p₂在惯性坐标系中的变形量，h_p为压电层的厚度；

所述步骤3中，采用假设模态法对变形场进行离散，对于柔性悬臂梁的轴向变形w₁(x,t)和径向变形u₂(x,t)采用假设模态法描述为

式中，Φ_x(x)为柔性悬臂梁的轴向振动的模态函数行向量，Φ_y(x)为柔性悬臂梁的横向振动的模态函数行向量，A(t)为柔性悬臂梁轴向振动的模态坐标列向量，B(t)为柔性悬臂梁横向振动的模态坐标列向量，各变量表示为：

其中，φ_xi(x)为柔性悬臂梁的轴向振动模态函数：

φ_yi(x)为柔性悬臂梁的横向振动模态函数：

φ_yi(x)＝(cosβ_ix-chβ_ix)+γ_i(sinβ_ix-shβ_ix),i＝1,2,…,K (16)

其中

有

上式中H(x)∈R^K×K为耦合形函数，表示为

式中Φ′_y表示Φ_y(ξ)对ξ求一阶导数。