[发明专利]一种采用平方和优化求解最小鲁棒正不变集的方法

说明书

本发明涉及一种采用平方和优化求解最小鲁棒正不变集的方法，在有界干扰存在的情况下，分别针对连续系统和离散系统计算其最小鲁棒正不变集，能将控制系统约束在更小的鲁棒干扰不变集中。该方法不限制系统为线性系统，扩展了最小鲁棒正不变集的适用范围。

技术领域

本发明属于控制领域，涉及一种采用平方和优化求解最小鲁棒正不变集的方法。

背景技术

鲁棒正不变集用来刻画系统在有界干扰存在情况下所有状态所可能出现的集合[。 最小鲁棒正不变集是满足鲁棒正不变集的最小集合，采用最小鲁棒正不变集来限制干扰范围可以降低甚至避免干扰边界描述的保守性。最小鲁棒正不变集在鲁棒控制与路 径规划领域有着很大的应用价值，例如在Tube-MPC方法中的应用。线性矩阵不等式 (LinearMatrix Inequalities，LMI)是较早的通过求解半正定规划(Semidefinite programming，SDP)问题来计算最小鲁棒正不变集的一种可行方法。Rakovi分别在他 的文章《Invariantapproximations of the minimal robust positively invariant set》和 《Invariantapproximations of the minimal robust positively invariant set via finite timeaumann integrals》中提出分别采用Minkowski和与Aumann积分的方法分别针对离散 系统和连续系统计算最小鲁棒不变集。但是这些方法都只能针对线性定常系统，且对 高维系统计算缓慢。

2000年P.A.Parrilo在他的博士论文中提出了平方和优化方法(sums-of-squares, SOS)。SOS方法可以将多项式正定问题转换为SDP来求解。通过SOS可以将鲁棒不变 集的应用扩展为多项式系统。

发明内容

本发明解决的技术问题是：为了解决现有技术的针对线性低维系统求解最小鲁棒不变集，本发明采用平方和优化的方法，在有界干扰存在的情况下，分别针对连续系 统和离散系统计算其最小鲁棒正不变集，能将控制系统约束在更小的鲁棒干扰不变集 中。

本发明的技术方案是：一种采用平方和优化求解最小鲁棒正不变集的方法，包括以下步骤：

步骤一：定义离散系统或连续系统，其中离散系统或连续系统中包含x,u,w三个参数， 分别为状态变量、控制输入和系统干扰；其中 分别为状态变量、控制输入和系统干扰的可行空间；n,m,d分 别为状态、输入和干扰的维度；

步骤二：定义椭圆为最小鲁棒不变 集的外包络，为平衡点；vol(ε(q,Q))表示该椭圆集的体积；V(x)为可行的Lyapunov函数；

步骤三：对步骤二中的椭圆中的q矩阵进行求解，包括以下子步骤：

子步骤一：初始化V(x)和稳定反馈控制u(x)；

子步骤二：对V(x)迭代求解SOS优化，直到vol(ε(q,Q))不再减小；得到最优解的最小鲁棒正不变集。

本发明的进一步技术方案是：当系统为离散系统时，包括离散系统和仿射离散系统两种情况；

为离散系统时，包括以下步骤：

步骤一：定义离散系统为x⁺＝f_h(x,u,w)；

步骤二：按照鲁棒不变集的定义，有如下充分条件：

中干扰可行集能够表示成半代数集的形式：

定义多项式

步骤三：对u(x)的最小鲁棒正不变集进行求解，包括以下子步骤：