[发明专利]考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法

权利要求书

1.一种考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

(1)对微结构的相对单元密度、材料体积分数、材料属性参数及优化算法参数进行初始化；

(2)对所述微结构的相对单元密度进行悬挑角和最小尺寸约束的密度投影以获得满足悬挑角和最小尺寸约束的单元密度场分布；并对所述微结构进行有限元分析以获得所述微结构的位移场；

(3)基于有限元分析及所述位移场来获得所述微结构的等效弹性张量，并对微结构拓扑优化模型进行敏度分析以获得微结构拓扑优化的目标函数及约束条件对相对单元密度的敏度信息，进而构建优化准则以更新微结构的相对单元密度；

(4)判断当前的相对单元密度是否满足迭代收敛条件，若满足，则输出最优微结构构型；否则转至步骤(2)；

其中，步骤(1)中基于SIMP材料密度-刚度插值模型，对微结构的相对单元密度、材料体积分数、材料属性参数及优化算法参数进行初始化，所述SIMP材料密度-刚度插值模型的数学表达式为：

式中，x_i为微结构的相对单元密度，下标i表示该单元在微结构设计域中的单元编号；E(x_i)为经过插值后的弹性模量；K为插值后的整体刚度矩阵；K₀为相对单元密度为“1”的实体单元所对应的刚度矩阵；E和E_min分别为相对单元密度为“1”的实体单元和相对单元密度为“0”的孔洞单元的弹性模量；p为插值模型的惩罚因子，取3～5；m为微结构离散为单元后的单元总数；

步骤(2)包括以下子步骤：

(21)对所述微结构的相对单元密度进行最小尺寸约束的密度投影；

(22)对最小尺寸约束后的相对单元密度进行悬挑角的密度投影；

(23)对微结构的单元节点位移场进行分类，并根据分类后的单元节点位移场将微结构的载荷F进行对应分割，以构建及求解平衡方程(3)，进而获得微结构的位移场；平衡方程(3)为：

式中，K为微结构刚度矩阵；U为微结构单元节点位移场；采用公式(4)对所述微结构的相对单元密度进行最小尺寸约束的密度投影，所述公式(4)为：

式中，H₀和H₁分别为“扩展算子”和“侵蚀算子”，分别约束实体材料的最小尺寸和孔洞的最小尺寸；和分别为经过“扩张算子”和“侵蚀算子”投影后的单元密度；β为控制最小尺寸约束的密度投影的光滑程度参数；采用公式(5)对最小尺寸约束后的相对单元密度进行悬挑角约束的密度投影，公式(5)为：

B_(i,j)＝smax(ξ_(i-1,j-1),ξ_(i,j-1),ξ_(i+1,j-1))

i＝1,2,...,k；j＝1,2,...,l

式中，为最小尺寸约束后的单元密度；ξ_(i,j)为悬挑角约束后的单元密度；B_(i,j)为基板密度，下标i，j表示单元在微结构设计域中的单元列数和行数编号；k和l分别为微结构离散为单元后的单元列数和行数，函数smin和smax的表达式分别为：

式中，x为微结构的相对单元密度；B为基板密度；n_s为设计域的单元行数；ε和p为控制近似函数精度和光滑度的参数；ξ_k(k＝1,2,...,n_s)为单元的可打印密度；Q为惩罚因子，Q的表达式为：

式中，n_e为支撑可打印单元的基板单元数目；P和ξ₀为常值，分别取40和0.5；步骤(23)中，微结构单元节点位移场U被分为四个部分；其中，F₂＝0，F₃+F₄＝0；微结构全局刚度矩阵K为对称矩阵，K_ij＝K_ji；

所述微结构的等效弹性张量是采用公式(8)进行计算的，公式(8)为：

式中，|Y|为微结构单胞的面积或体积；k_e为单元刚度矩阵；N为离散后的单元总数；d为微结构优化的维度；为每个单元水平方向上的位移；为每个单元竖直方向上的位移；所述微结构拓扑优化模型满足悬挑角及最小尺寸约束，其数学表达式为：

式中，x_e为微结构的相对单元密度；ξ^an为施加悬挑角约束后的单元密度；为施加实体材料最小尺寸约束后的单元密度；为敏度分析时对进行密度过滤后的单元密度；x^si为施加孔洞最小尺寸约束后的单元密度；为敏度分析时对x^si进行密度过滤后的单元密度；B为基板密度；为微结构等效弹性张量；为关于微结构等效弹性张量的函数；K、U^A和F分别为微结构的整体刚度矩阵、位移向量和载荷向量；d为优化问题的维数；m和n分别为微结构离散为单元后的单元列数和行数；Δ(e,i)为中心单元x_e到预定区域内的所有单元集合x_i的距离；r_min为过滤半径，也为最小尺寸控制参数；v_e为单元的体积；|Y|为微结构单胞的面积或体积；θ为微结构体积分数的上限；x_min为设定的最小单元密度；步骤(3)中，采用公式对对微结构拓扑优化模型进行敏度分析，以获得微结构拓扑优化的目标函数及约束条件对相对单元密度的敏度信息；并采用计算获得的敏度信息来构建优化准则，求解宏观性能最优的自支撑微结构拓扑优化模型，以更新微结构的相对单元密度；采用公式(10)及公式(11)对微结构拓扑优化模型进行敏度分析，公式(10)及公式(11)分别为：

式中，n_s为设计域的单元行数；乘子向量和悬挑角约束的敏度向量和最小尺寸约束的敏度向量分别通过公式(12)，公式(13)，公式(14)及公式(15)进行计算，公式(12)，公式(13)，公式(14)及公式(15)分别为：

其中，公式(12)和公式(13)中的项，公式(15)中的和项分别通过公式(16)，公式(17)及公式(18)计算得到，公式(16)，公式(17)及公式(18)分别为：

式中，β为控制最小尺寸约束的密度投影的光滑程度参数；ε和p为控制近似函数精度和光滑度的参数；Q为惩罚因子；为最小尺寸约束后的单元密度，下标j+1表示该密度为第j+1行的单元密度；B_j+1为基板密度，下标j+1表示该密度为第j+1行的基板密度；和为悬挑角约束后的单元密度，下标j、k分别表示该密度为第j行和第k行的单元密度；n_s为设计域的单元行数；为施加实体材料最小尺寸约束后的单元密度，下标j表示该密度为第j行的单元密度。