[发明专利]用于四个数据集联合盲源分离的四阶张量联合对角化算法

权利要求书

1.一种用于四个数据集联合盲源分离的四阶张量联合对角化算法，其特征在于包括以下步骤：

S1、观测信号：

对四个数据集观测信号分别进行预白化：

记第m个数据集的白化矩阵为

则预白化处理之后，第m个数据集观测信号为：

其中，酉矩阵U^(m)@W^(m)A^(m)∈C^R×R是经预白化之后，第m个数据集信号的混合矩阵，x^(m)(t)为第m个数据集的观测信号，s^(m)(t)为第m个数据集的源信号，A^(m)为第m个数据集的混合矩阵；

S2、目标张量：

预白化之后，构造一组互四阶累积量张量如下：

其中，“cum(·)”用于计算互四阶累积量，其定义为：

其中，“E(·)”用于计算数学期望，上标“*”表示共轭，根据定义可知，每一个张量表示四组观测信号在时刻t_k的互四阶累积量张量，k＝1,…,K；

其公式表示如下：

其中×_n表示张量和矩阵的n模乘积，n＝1,…,4；一个四阶张量与矩阵的n模乘积定义为：

公式(4)中为四组数据集的源信号在时刻t_k的互四阶累积量张量；

S3、初始化因子矩阵；

S4、代价函数收敛计算：

首先，优化准则：

定义目标函数λ为数据张量与拟合张量间的均方误差：

其中||·||_F表示弗罗贝尼乌斯范数，通过最小化λ，计算混合矩阵在最小二乘意义下的最优估计值；

注意到U^(m)为酉矩阵，m＝1,2,3,4，根据酉变换的保范性，公式(7)改写为：

其中，off(·)用于将其输入张量的超对角元置0，diag(·)用于对其输入张量的非对角元置0，为常数；

因此，对λ进行最小化等价于对进行最大化，因此，本发明通过如下准则估计混合矩阵U^(m),m＝1,2,3,4：

其中分别表示U⁽¹⁾,U⁽²⁾,U⁽³⁾,U⁽⁴⁾的估计值；

公式(7)–(9)表明，通过最大化的超对角元范数平方和，即对进行联合对角化，获得混合矩阵U⁽¹⁾,U⁽²⁾,U⁽³⁾,U⁽⁴⁾在最小二乘意义下的最优估计值；

其次，雅克比迭代：

雅克比迭代将待求解的酉矩阵写成一系列雅克比旋转矩阵的乘积，进而通过分别优化每一个雅克比旋转矩阵，最终实现目标函数的最大化；

具体而言，记数据张量及混合矩阵U^(m)在前一次迭代的更新值分别为和其在当前迭代的更新值分别为和

每一次迭代通过雅克比旋转矩阵对和U^(m)进行更新，即：

其中雅克比旋转矩阵定义如下：

其中‘i’表示虚部单位；

根据定义，除了(i,i),(i,j),(j,i),(j,j)四个位置的元素不为0，对角线上元素为1之外，其余位置皆为0；

令坐标i的值从1取至R，j的值由i取至R，对于某一对固定的坐标值(i,j)，由(9)和(10)可知，的最优解通过求解下述优化问题获得，m＝1,2,3,4：

获得之后，按照式(10)对和U^(m)进行更新；坐标(i,j)遍历所有取值时所包含的全部迭代称为一次扫描；

若一次扫描过后，算法收敛，则计算结束，若算法仍未收敛，则以此次更新所得的因子矩阵作为初始值，进行下一次扫描，遍历更新雅克比旋转矩阵，更新因子矩阵，直至收敛为止。