[发明专利]量子纯态重构的最优观测算符集的构造方法

权利要求书

1.量子纯态重构的最优观测算符集的构造方法，包括对本征态和叠加态的最优观测算符集的构造，其特征在于：

步骤(1.1)选定d维希尔伯特空间中的任意n比特量子纯态ρ＝|ψ><ψ|，其维度d＝2ⁿ，其中态矢量|ψ>满足：

其中，c_i为本征态的系数其中i＝1,...,d，且为d维希尔伯特空间的正交基，同时也是本征态；

步骤(1.2)选择一组由泡利矩阵构成的满秩的厄米算符作为观测算符，由d²个观测算符构成的完备观测算符集合M满足：

其中，M_j是由I,X,Y和Z的直积构成的观测算符；为二维泡利矩阵，I为单位算符，X,Y,Z为泡利算符，满足：

步骤(1.3)选定一组完备观测算符集合Μ_diag对量子态的密度矩阵ρ的对角元素进行观测：根据密度矩阵中所有对角线元素之和为1的约束条件：单位矩阵组成的观测算符的观测值必然为1，不需要测量，因此密度矩阵对角元素的完备观测算符集合是由d-1个观测算符组成：

其中，M₀＝II...I为单位矩阵组成的观测算符；

步骤(1.4)获取观测值并对观测值进行判断以及本征态或叠加态的分类：由于本征态密度矩阵ρ中仅在对角线上有且仅有一个值为1的非零元素，通过对待估计n量子位本征态{|e_i>|i＝0,...,d-1}的观测，观测算符集合Μ_diag中全部算符M_j的观测值一半为+1另一半为-1；如果观测值为+1，待估计本征态对角线中为1的元素所处的位置位于本次观测算符中所有对角元素为+1的位置中；如果观测值为-1，待估计本征态中为1的元素位于本次观测算符中所有对角元素为-1的位置中；这样通过一次观测算符的观测结果,可以把本征态对角元素中为1的元素所处位置的范围，从d个缩小到d/2个；通过获取n次观测算符的n个观测值,对本征态中为1的元素所处位置的范围可以缩小为d/2ⁿ＝1，由此可以唯一地确定本征态中为1元素的位置，并估计出待估计的本征态ρ；只有在n次测量中，每一次观测值都是+1或-1，那么待估计量子态为本征态，只要有任何一次观测值为+1和-1之间的实数，那么待估计量子态为叠加态；

步骤(1.5)当待估计的量子纯态为本征态时，构造量子本征态重构的最优观测算符集：从完备的对角元素观测算符集合Μ_diag中选择能够唯一确定出任意本征态的n个观测算符，构成一个最优观测算符集对任意本征态而言，最优观测算符集并不是唯一的，这里给出其中一种

当待估计的量子纯态为量子叠加态时，构造其最优观测算符集并根据观测值对量子叠加态进行估计，包括以下步骤：

步骤(2.1)选定n比特量子叠加态ρ＝|ψ><ψ|，且的本征系数c_i中有且仅有l个不为0，称其为“l-叠加态”，因此l-叠加态的密度矩阵ρ中共有l×l个非零元素；

步骤(2.2)对步骤(1.3)的完备观测算符集合Μ_diag中除了步骤(1.4)已经测量过的n观测算符之外的其它d-n-1个算符进行观测，对l-叠加态中对角元素的总观测次数

步骤(2.3)根据所得到的d-1个算符的观测值以及对角元素之和为1，可以计算出密度矩阵ρ中的全部d个对角元素；

步骤(2.4)假设l-叠加态中有l个非零对角元素分别为：c_kt＝a_kt+ib_kt,t＝1,..,l,a_kt,b_kt∈R，非对角元素有l(l-1)个，在忽略全局相位的情况下，不妨设c_k1的虚部为零，所以有成立，此时未知量a_kt,b_kt各有(l-1)个，未知数总数为2(l-1)；

步骤(2.5)选择合适的观测算符集合Μ_non中的观测算符M_n,n＝d+1,...,d²,对非对角元素进行观测，其中观测算符集合Μ_non满足：

Μ_non＝Μ-Μ_diag-M₀

由于未知数总数为2(l-1)个，故需要2(l-1)个观测算符进行观测，即非对角元素的观测次数

步骤(2.6)由上述步骤(2.1)-(2.5)可知，重构任意n比特l-叠加态(2≤l≤d)所需的最少观测次数为：

其最优观测算符集为：

其中，Μ_diag是对对角元素的完备观测算符集合，为对非对角元素的观测算符集合。

2.根据权利要求1所述的量子纯态重构的最优观测算符集的构造方法，其特征在于：所述的步骤(2.4)中2(l-1)个非对角观测量的选取步骤如下：

步骤(2.4.1)找到非对角元素(即和对应的交叉位置上的元素)所对应的由I,X,Z组成的观测算符M_X12，由于M_X12为满秩算符，如果M_X12仅测得和的值，则进行下一步，否则若M_X12还测得其他t₁组对角元素值则通过变换M_X12中I,Z再选出t₁个算符，构成{M_X12,M_Xij,M_Xqp,......}_t1+1，根据此t₁+1个算符上的观测值，计算出等t₁+1个非对角元素的实部；然后观测虚部，将{M_X12,M_Xij,M_Xqp,......}_t1+1中一个X变换为Y，构成对应t₁+1个虚部观测算符{M_Y12,M_Yij,M_Yqp,......}_t1+1，根据此t₁+1个算符上的观测值，计算出等t₁+1个非对角元素的虚部，这一步共选择2(t₁+1)个观测算符；

步骤(2.4.2)根据步骤(2.4.1)中结果，剔除等t₁+1个与有交叉项的对角项等，剩余与有交叉项的对角项为l-t₁-2个，重复步骤(2.4.1)中步骤；直至找到全部与有交叉项的对角项对应实部虚部观测算符，共有观测算符个数为2(t₁+1)+2(t₂+1)+...＝2(l-1)个((t₁+1)+(t₂+1)+...＝l-1)，因此非对角线的总观测次数为2(l-1)。