[发明专利]一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法及系统

说明书

本发明公开了一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法及系统，首先读取带有初始参数化的空间网格，构建参数域网格，读取空间网格顶点N₁面积和测度；判断参数域网格的三角化，做相应的edge‑flipping；赋予空间网格顶点的N₁面积和测度，分别计算空间网格和参数域网格的面积差B；构建参数域网格的Laplace矩阵L；通过Δ*G＝B求解出G，根据G计算所有面梯度，根据面梯度计算顶点梯度；通过顶点梯度更新顶点坐标，并对边界作Boundary regularization处理；重复上述过程直至顶点梯度的二范式小于某个阈值，停止迭代；本发明有严谨的数学理论，满足任意维度测度可控的参数化。有较高运行效率，和其他方法相比，大大减少迭代次数，减少运行时间。有较高的鲁棒性，满足不同种类的模型。

技术领域

本发明属于曲面参数化技术领域，涉及一种曲面参数化方法及系统，具体涉及一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法及系统。

背景技术

网格参数化是指嵌入在三维空间的流形(面网格或体网格)与某个更简单、更规则的参数域之间的一一映射，其目的是为了将在复杂流形上的处理操作转移到简单的参数域上执行，从而提高操作的可行性和效率。网格参数化是计算机图形学、计算机辅助几何设计、数字几何处理中研究的核心问题之一，在过去的近二十年中，它已成为一种无所不在的基本工具，广泛应用于三维网格模型的处理，包括纹理映射、细节转换、网格变形、网格编辑、网格重剖、网格压缩、网格修复、曲面拟合、曲面变形、形状分析等等。

通常，曲面的参数化映射主要分为如下三种：保距映射(Isometric mappings)，保角映射(Conformal mappings)，保积映射(Equiareal mappings)。假定为三角网格的曲面参数化，如果参数域中的任意一段线段的长度和空间曲面中的线段长度一致，则称为保距映射。如果参数域中任意相交线段的角度和空间中对应相交线段的角度相等，则称为保角映射。如果参数域中每个面元和空间中的对应面元有相同的面积则称为保积映射。其中如果一种映射既是保角的又是保积的，则这种映射也称为保距映射。

参数化中，根据参数域的不同，三角网格参数化基本分为两大类，即平面参数化和球面参数化。直观上讲，平面参数化就是把一个空间三角网格平摊成平面三角网格，在保证平面三角网格有效性的同时最小化变形。这种参数化方法的研究对象主要集中在带单条边界的二维流行网格上，因为封闭网格甚至是任意拓扑的网格都可以通过分而治之的方法转化为带边界网格。

目前的参数化涵盖不同的方法，保距映射的实现有着严格的曲面要求。对于某些可展曲面通过展开的方式可以实现保距映射，但是对于一般曲面仅能通过刚体运动的方式来实现。

保角映射中，目前有着严格的数学基础且是真正意义上保角映射的是RicciFlow的方法，该方法是以黎曼映射(Riemann mapping)为主要思想。1851年，德国数学家Bernhard Riemann在他的博士论文中规定了黎曼映射理论，该理论表明，如果U是一个复平面C的非空连通开集，则存在一个从U到单位圆盘的双同态映射f，这种映射即是著名的黎曼映射(Riemann mapping)。而在离散三角网格曲面中应用黎曼映照又不是一件易事。1981年美国数学家Richard Hamilton首次提出了Ricci Flow，Ricci Flow在低维的拓扑几何分析中有很大的作用，而这种方式就是黎曼映照在离散曲面参数化中的一大应用。另外保角映射中还有harmonic map和Least squares map的方法，但这两种都不是严格意义的保角映射，只是近可能地往保角映射靠近。

本发明是基于参数化中保积映射领域，通过基于严格的数学理论以及高效的算法实现，可以得到很好的保积映射效果。