[发明专利]基于Levenberg-Marquardt算法的磁力计校准方法

权利要求书

1.一种基于Levenberg-Marquardt算法的磁力计校准方法，其特征在于，步骤如下：

(1)基于L-M算法的拟合过程，实际上是应用改进的Newton-Gauss法的过程①生成雅克比矩阵和海森矩阵

使用立体8字校准法从磁力计获得原始数据，将采集到的原始的磁力计数据表示为三维向量组数据集；先对三维向量组数据集进行预处理，即删除重复数据并视具体情况进行归一化；若进行归一化，需对解进行反向归一化，还原解为原数量级；

对于输入的三维向量组数据集，

满足：(x-a)²+e(y-b)²+f(z-c)²＝d²；

其中：x，y，z为输入三维坐标分量值，a，b，c，d，e，f为待求参数；

等同于拟合变形的函数：

F(α)＝(x-a)²+e(y-b)²+f(z-c)²-d²

其中α＝(a,b,c,d,e,f)，在解集非空的情况下，假设J(α)是F(α)的雅克比矩阵，有：

其中：F_m(α)表示将第m组数据α_m＝(a_m,b_m,c_m,d_m,e_m,f_m)带入F(α)的值；

设H(α)是J(α)对应的海森矩阵，有：

H(α)＝J(α)^TJ(α)

可知，雅克比矩阵满秩，且所求F(α)的二阶偏导数忽略的情况下，Newton-Gauss法有二次收敛性，L-M算法有全局二次收敛性；

②求解超定方程组

传统Newton-Gauss的方法中，设d_k有以下关系：

d_k＝-(J(α)^TJ(α))^-1J_k^TF_k(α)

即：

d_k＝-(H(α))^-1J_k^TF_k(α)

规定：

E(α)＝(F₁(α),F₂(α),F₃(α),...,F_m(α))

当d_k满足||E(α_k+d_k)||²≤||E(α_k)||²时，有：

α_k+1＝α_k+d_k

直到||E(α_k+1)||≤e时，停机；e是设定好的精确度；此时，α_k+1是拟合的解；第一次迭代时，k＝0，设定此时a_k＝a₀，a₀是算法待拟合参数设定的初始值；

对于L-M算法，其与Newton-Gauss法最大的不同是把海森矩阵与一个所有元素乘以某个系数的单位矩阵相加，现规定如下：

H′_k(α)＝H(α)+μ_kI

上式中，μ_k表示第k次迭代时的修正因子，在L-M算法的输入阶段规定一个起始值为10E-4，对Newton-Gauss法的解下降的方向进行反馈，I表示一个n维的单位矩阵，n表示拟合参数的个数，如此变换防止因海森矩阵的行列式过小导致而误差和迭代速度过慢的问题，同时克服了Newton-Gauss法对于J(α)必须满秩的要求；

根据上式，L-M算法的迭代方程表示为：

d_k＝-(H′_k(α))^-1J_k^TF_k(α)

若||F(α_k+d_k)||²≤||F(α_k)||²，则有：

α_k+1＝α_k+d_k

μ_k+1＝μ_k/ε

否则：

α_k+1＝a_k

μ_k+1＝δμ_k

其中，ε表示修正因子的缩小倍数，δ表示修正因子的放大倍数，二者均设置为10；反复迭代直到||F(α_k+1)||≤e时，停机；此时的α_k+1便是拟合的解向量；

(2)使用拟合的二次曲面方程对磁力计进行校准

假设磁力计测得的磁向量为(x_i,y_i,z_i)，则理想状态下，磁向量满足球体方程：

x_i²+y_i²+z_i²＝d_i²

假设误差下的磁力计测得的磁向量为(x_m,y_m,z_m)，则(x_m,y_m,z_m)与(x_i,y_i,z_i)的关系表示为：

x_m＝Ax_i+x_offset,y_m＝By_i+y_offset,z_m＝Cz_i+z_offset

从上式中看出磁力计的校准的过程本质上就是求A,B,C,x_offset,y_offset,z_offset这六个参数的值的过程，传统的磁力计校准过程中，上述参数与输入数据的关系为：

A＝1，

其中x_max，x_min，y_max，y_min，z_max，z_min分别表示对应坐标轴数据的最大与最小值：

使用L-M算法的场合下，将x_m＝Ax_i+x_offset，y_m＝By_i+y_offset，z_m＝Cz_i+z_offset带入x_i²+y_i²+z_i²＝d_i²并且与基准函数(x_m-a)²+e(y_m-b)²+f(z_m-c)²＝d²相对比后得出:

x_offset＝a，y_offset＝b，z_offset＝c

即使用L-M算法求得的参数α＝(a,b,c,d,e,f)得到真实的磁向量(x_i,y_i,z_i)：

至此，磁力计校准完成。