[发明专利]一种基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法

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1.一种基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法，其特征是，它包括以下步骤：

1)基于矩阵扰动理论的雅可比矩阵条件数的构建

在电力进行潮流计算时，采用极坐标形式下的潮流方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{is}=U_i\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}{U}_j(G_{ij}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}+B_{ij}{\mathrm{sin\θ}}_{ij})\\ Q_{is}=U_i\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}{U}_j(G_{ij}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}+B_{ij}{\mathrm{cos\θ}}_{ij})\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中i、j为系统中节点编号，j∈i表示j在i的集合中取值；θ_ij＝θ_i-θ_j为节点i、j电压相角的差值；sinθ_ij为θ_ij的正弦值、cosθ_ij为θ_ij的余弦值；U_i节点i的电压、U_j为节点j的电压；G_ij为支路i-j的电导、B_ij为支路i-j的电纳；P_is为节点i给定的有功功率、Q_is为节点i给定的无功功率，在运行点附近将系统的潮流方程(1)线性化，则可得到修正方程为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}P\\ \mathrm{\Δ}Q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{J}_{p\mathrm{\θ}}& J_{pV}\\ J_{Q\mathrm{\θ}}& J_{QV}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\θ}\\ \mathrm{\Δ}U/U\end{array}\right]=\[J\]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\θ}\\ \mathrm{\Δ}U/U\end{array}\right]---\left(2\right)$

用矩阵J表示方程(2)中的雅可比矩阵，则J∈R^m×m，为计算方便，以V表示节点相角和电压的变化列向量[Δθ ΔU/U]^T，J_pθ为矩阵J对P、θ的偏导数，J_pV为矩阵J对P、V的偏导数，J_Qθ为矩阵J对Q、θ的偏导数，J_QV为矩阵J对Q、V的偏导数；以W表示节点有功功率和无功功率的变化列向量[ΔP ΔQ]^T，在平衡点进行线性化，得潮流方程的简化形式：

JV＝W (3)

其中：J为用于系统潮流计算的雅可比矩阵，

V表示节点相角和电压的变化列向量[Δθ ΔU/U]^T，

W表示节点有功功率和无功功率的变化列向量[ΔP ΔQ]^T；

在系统受到外界的一个扰动时，系统会在目前运行点的基础上有功和无功功率重新分布，使系统潮流达到一个新的运行点，此时全系统用于潮流迭代的雅可比矩阵中的元素也发生了相应的变化，潮流方程在新的运行点处达到平衡，系统在新的运行点处有如下关系：

(J+ΔJ)(V+ΔV)＝(W+ΔW) (4)

其中：ΔJ为系统受扰动后雅可比矩阵的改变量，

ΔV为系统受扰动后节点电压改变列向量，

ΔW为系统受扰动后节点功率改变列向量，

令J′＝J+ΔJ，则J′为系统在新运行点处潮流方程的雅可比矩阵；

对应于潮流收敛的两个运行点处的雅可比矩阵J和J′一定都是非奇异矩阵，且在系统结构不发生变化时，J和J′维数相同，根据矩阵扰动理论中矩阵逆和方程组的扰动界限定理得：

$\frac{\left|\right|J^{\′-1}-J^{-1}\left|\right|}{\left|\right|J^{-1}\left|\right|}\≤\frac{\mathrm{\τ}}{1-\mathrm{\τ}\left|\right|\mathrm{\Δ}J|{|}_2/|\left|J\right|{|}_2}\frac{\left|\right|\mathrm{\Δ}J|{|}_2}{\left|\right|J\left|\right|}---\left(5\right)$

和

$\frac{\left|\right|\mathrm{\Δ}W\left|\right|}{\left|\right|W\left|\right|}\≤\frac{\mathrm{\τ}}{1-\mathrm{\τ}\left|\right|\mathrm{\Δ}J|{|}_2/|\left|J\right|{|}_2}(\frac{\left|\right|\mathrm{\Δ}J|{|}_2}{\left|\right|J\left|\right|}+\frac{\left|\right|\mathrm{\Δ}V\left|\right|}{\left|\right|V\left|\right|})---\left(6\right)$

其中：

τ＝||J||₂*||J^-1||₂ (7)

则根据矩阵扰动理论，将(7)式定义雅可比矩阵的条件数；

其中：J为潮流方程中雅可比矩阵，

J^-1为J的逆阵，

||J||₂表示矩阵J的2-范数，

||J^-1||₂表示矩阵J^-1的2-范数；

显然，在方程(5)中，左边表示系统受扰动前后雅可比矩阵逆阵J^-1的相对变化率，而雅可比矩阵条件数τ作为方程右边的一个乘子，其大小即反应了J^-1对于J的扰动的敏感性，方程(6)描述了△W相对于W的变化率的上限范围，即雅可比矩阵的条件数τ反映了潮流迭代方程组JV＝W的解V的相对误差对于J和W的相对误差的依赖程度；

电力系统潮流计算的过程中，经常希望雅可比矩阵的条件数越小越好，当雅可比矩阵的条件数τ无穷大时，雅可比矩阵J发生奇异，潮流方程表现为“病态”，此时即为传统电压稳定分析中的雅可比矩阵发生奇异，系统处于电压崩溃的临界状态；

在分析电力系统电压稳定性时，若雅可比矩阵条件数τ很大，系统中节点功率W一个微小的变化，就会导致潮流计算中雅可比矩阵J中元素发生很大的波动，进而导致J^-1和方程组JV＝W的解，即节点电压产生较大的偏差，因此当(5)式中雅可比矩阵J的雅可比矩阵条件数τ较大时定义为病态潮流；

2)病态数据溯源模型的建立

通过潮流不可解时在P-V曲线上的位置的分析，再结合式(5)、式(6)的推导证明，可以利用雅可比矩阵的条件数的大小来判断系统潮流方程是否属于病态，通过电力系统以往电压稳定分析中形成的P-V曲线，可将潮流不收敛分为三种类型，类型1：潮流解存在，系统运行状态距离P-V曲线鼻子点较远的情况下，理论上牛顿法即可求解，但在实际运算中线路参数错误或者初值要求过高使得系统结构状况偏离实际物理意义，导致潮流不收敛；类型2：系统负荷水平处在P-V曲线鼻子点附近的情况下，即使存在潮流解，但常规的牛顿法很难求出其解，雅可比矩阵条件数较大，属于病态潮流范畴；类型3：负荷水平远超过系统的最大负荷能力，潮流解不存在的情况下，无论如何改进算法都无法求解出潮流方程的解；

对于系统中出现了类型2和类型3的情况，此时计算得到的潮流分布将对电网的安全和稳定构成了极大的威胁，需要改变电网结构和增设电网电源才能从根本上解决此类问题；

对于类型1：潮流解存在，系统运行状态距离P-V曲线鼻子点较远的情况下，理论上牛顿法即可求解，但在实际运算中线路参数错误或者初值要求过高使得系统结构状况偏离实际物理意义，导致潮流不收敛，需要找到初值要求过高或者线路参数错误所在的位置，为此，将式(5)中的雅可比矩阵J进行分块，则有，

$J=\left[\begin{array}{cc}H& N\\ K& L\end{array}\right]---\left(8\right)$

其中，H，N，K，L为矩阵J的部分元素组成的矩阵；

同时将式(3)中的雅可比矩阵J进行分解成对称阵与反对称阵之和的形式，即：

$J=\frac{J+J^T}{2}+\frac{J-J^T}{2}=J_1+J_2---\left(9\right)$

J^T为矩阵J的转置矩阵。则在式(9)中，为对称阵，为反对称阵，由于J的对角线元素不影响其对称性，故只考虑矩阵₁、J₂的非对角线元素，

结合(8)式和(9)式，能够推出J₁和J₂中的元素，则对称阵J₁中的非对角线元素为：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_1(2i-1,2j-1)=(H_{ij}+H_{ji})/2=V_i{V}_j{B}_{ij}{\mathrm{cos\δ}}_{ij}\\ J_1(2i-1,2j)=(N_{ij}+K_{ji})/2=-V_i{V}_j{B}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\\ J_1(2i,2j-1)=(K_{ij}+N_{ji})/2=V_i{V}_j{B}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\\ J_1(2i,2j)=(L_{ij}+L_{ji})/2=-V_i{V}_j{B}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\end{array}\right.---\left(10\right)$

反对称阵J₂的非对角线元素为：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_2(2i-1,2j-1)=(H_{ij}-H_{ji})/2=-V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\\ J_2(2i-1,2j)=(N_{ij}-K_{ji})/2=V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{cos\δ}}_{ij}\\ J_2(2i,2j-1)=(K_{ij}-N_{ji})/2=-V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{cos\δ}}_{ij}\\ J_2(2i,2j)=(L_{ij}-L_{ji})/2=V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\end{array}\right.---\left(11\right)$

式(10)、式(11)中，J₁(i,j)为矩阵J₁的第i行第j列元素、J₂(i,j)为矩阵J₂的第i行第j列元素，由J＝J₁+J₂可知，雅可比矩阵J的对称程度只与矩阵J₂相关，又由矩阵J₂中的元素与各支路的G_ij强相关，由于矩阵J₁为对称阵，在考虑雅可比矩阵J的对称性时，只考虑矩阵J₂对其的影响，

定义异常数据矩阵r为：

r＝|J₂| (12)

|J₂|为矩阵J₂的绝对值，

则有矩阵r中的各元素为：

$\left\{\begin{array}{c}r(2i-1,2j-1)=(H_{ij}-H_{ji})/2=\left|V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\right|\\ r(2i-1,2j)=(N_{ij}-K_{ji})/2=\left|V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{cos\δ}}_{ij}\right|\\ r(2i,2j-1)=(K_{ij}-N_{ji})/2=\left|V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{cos\δ}}_{ij}\right|\\ r(2i,2j)=(L_{ij}-L_{ji})/2=\left|V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\right|\end{array}\right.---\left(13\right)$

在(13)式中，当出现病态节点电压V或者支路参数电导G大小差别明显时，矩阵r中对应的位置数值变大，可见，矩阵r对计算潮流时异常数据的查找具有指导意义。