[发明专利]基于压缩感知的波束域DOA估计

权利要求书

1.基于压缩感知的波束域DOA估计，其特征在于：包括如下步骤：

第一步：压缩感知模型

(1)稀疏字典描述

假设为N×1的信号矢量，则x可表示为稀疏字典Ψ中列向量的线性组合，设对应的系数为z_i，i＝1,2,…,N，即

其中Ψ＝[ψ₁,ψ₂,…,ψ_N]为N×N的正交稀疏字典，z＝[z₁,z₂,…,z_N]为包含K＜＜N个非零值的N×1维信息矢量，即若||z||₀＝K＜＜N，则称信号x为正交稀疏字典Ψ上的K稀疏信号，||z||₀表示信息矢量z的l₀范数；

(2)测量矩阵描述

压缩感知理论表明，x可以通过在M×N的投影测量矩阵Φ上得到的M＝KΟ(logN)个线性投影测量值近似重构，其中投影测量矩阵和稀疏字典Ψ互不相关，测量矩阵Φ中的元素可以从L×M(L＜M)维高斯随机矩阵随机抽取，且满足约束等距性质(RIP)准则，即满足下列不等式：

其中δ_K为K-约束等距常数，是使对任何K稀疏信号上述不等式成立的最小数；

所以，投影观测矢量y可表示为：

y＝Φx＝ΦΨz＝Θz (3)

其中，Θ＝ΦΨ为感知矩阵，满足RIP条件；

(3)阵列信号稀疏表述

基于上述分析，信息矢量z可以由投影观测矢量y通过求解l₀范数优化问题近似重构：

min||z||₀s.t.y＝Θz (4)

优化问题(4)实际上是一个NP-hard问题，求解l₀范数优化问题可以通过松弛化转化为求解l₁范数凸优化问题，即求解l₁范数与求解l₁范数将会产生等价解；所以优化问题(4)可以进一步表示为：

min||z||₁s.t.y＝Θz (5)

在噪声存在的情况下，式(3)重写为：

y＝Θz+w (6)

其中w为加性高斯白噪声，即w～CN(0,σ²I)；

所以，z估计的优化模型可表示为：

min||z||₁ s.t.||y-Θz||₂＜ε (7)

其中ε为与噪声有关的一个常量；最优化问题(7)可以通过正交匹配追踪和多矢量欠定系统聚焦求解等算法近似求解；

第二步：信号波达方向角估计的稀疏表示

假设有K个远场窄带信号入射到一个具有M个全方向阵列、阵元间距为d的理想均匀线性阵列上，其中阵元间距d的大小为半波长，所以每个阵元接收的复合信号表示为：

其中a(θ_k)＝[1,exp(-jα),…,exp(-j(M-1)α)]^T表示来波方向θ_k的M×1维阵列导向矢量，α＝2π/λsin(θ_k)表示均匀线性阵列平面内各阵元之间的第k条信号到达此阵元时的相移，w(t)表示叠加在阵列上的M×1维噪声矢量；

为了便于推导，(8)式可重新表示为：

x(t)＝As(t)+w(t) (9)

其中A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_k)]是阵列流型矩阵，s(t)＝[s₁(t),s₂(t),…,s_k(t)]^T是K×1维信号矢量；

基于压缩感知的阵列DOA估计模型中，角度支撑空间一致性划分为角度字典的形式，其中角度字典代表所有来波信号的可能方向，N_S决定信号波达方向角估计的分辨率，一般情况下N_S＞＞M；由上述分析，可得过完备阵列流型矩阵，即过完备稀疏基，则每个可能的来波信号对应导向矢量可表示为：

定义N_S×1信号稀疏矢量:

其中K个非零系数对应于原信号所在幅度信息，零系数对应于剩下N_S-K个原信号幅度信息；

基于式(10)和式(11)，式(9)可重新表示为：

x(t)＝Ψz(t)+w(t) (12)

由此，将接收信号x(t)投影至投影测量矩阵Φ，可得：

y(t)＝Φx(t)＝ΦΨz(t)+Φw(t) (13)

对于多次快拍，快拍数量为N，上式可表示为：

Y＝ΦX＝ΦΨZ+ΦW＝ΘZ+ΦW (14)

由式(14)可知，上述算法基于阵元域建立接收信号模型，在采用稀疏重构算法实现DOA估计的同时，也会导致算法计算量大、估计稳定性差等问题，实施性比较差；

第三步：波束域RMFOCUSS重构算法。

2.根据权利要求1所述的基于压缩感知的波束域DOA估计，其特征在于：第三步的波束域RMFOCUSS重构算法包括如下步骤：

第一步：波束转换矩阵，

为了进一步提高DOA估计的精确度和稳健性，降低DOA估计算法的运算复杂度，提出一种波束域的欠定系统聚焦求解算法，通过波束转换矩阵T将阵列接收到的信号从阵元域映射到波束域，即：

y_B(t)＝T^HΦx(t)＝Φ_BΨz(t)+Φ_Bw(t) (15)

其中T表示M×N_B的波束形成矩阵，N_B代表波束的数量，Φ_B＝T^HΦ，波束形成矩阵T需要满足波束形成矩阵T可表示为：

其中m为波束形成矩阵的始端点；

对于多次快拍，式(15)重写为：

Y_B(t)＝T^HΦX(t)＝Φ_BΨZ(t)+Φ_BW(t)＝Θ_BZ(t)+Φ_BW(t) (17)

其中，Θ_B＝Φ_BΨ表示波束域下的感知矩阵；

第二步：基于RMFOCUSS算法的波达方向优化问题求解，

基于上述分析，基于压缩感知的波束域DOA估计优化问题可表示如下：

其中，为稀疏度测量的松弛形式，行范数表示为：p,q为折衷稀疏性与优化问题凸性参数，z[i]＝[z⁽¹⁾[i],z⁽²⁾[i],…,z^(L)[i]]为Z的第i行；

上述优化问题可以采用拉格朗日乘子法进行求解，即：

min||Y_B-Θ_BZ||_F+γJ^(p,q)(Z) (19)

其中γ为平衡估计误差与稀疏性的参数，可以根据修正l曲线法预先选取最优的r值，其取值在一定的信噪比范围内变化较小；

式(19)可通过DOA近似重构算法实现求解，通过RMFOCUSS算法对优化模型(19)中的稀疏信号z进行估计，得到BS-RMFOCUSS算法的谱估计公式：

P(θ_i)＝||z(i,:)||₂ (20)。