[发明专利]基于贝叶斯的鲁棒性压缩感知方法

权利要求书

1.一种基于贝叶斯的鲁棒性压缩感知方法，具体步骤如下：

S1、构造具有随机采样性质的感知矩阵A，对信号进行采样得到y，设置误差预设值ε；

S2、构造各个参数的先验、后验分布：

S3、目标更新函数，相应变量同时，

${\mathrm{lnq}}_x\left(x\right)=\<\ln p(y,\mathrm{\θ}){\>}_{q_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\α}\right)q_{\mathrm{\γ}}\left(\mathrm{\γ}\right)q_s\left(s\right)q_{\mathrm{\λ}}\left(\mathrm{\λ}\right)}+cons\tan t$

${\mathrm{lnq}}_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\α}\right)=\<\ln p(y,\mathrm{\θ}){\>}_{q_x\left(x\right)q_{\mathrm{\γ}}\left(\mathrm{\γ}\right)q_s\left(s\right)q_{\mathrm{\λ}}\left(\mathrm{\λ}\right)}+cons\tan t$

${\mathrm{lnq}}_{\mathrm{\γ}}\left(\mathrm{\γ}\right)=\<\ln p(y,\mathrm{\θ}){\>}_{q_x\left(x\right)q_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\α}\right)q_s\left(s\right)q_{\mathrm{\λ}}\left(\mathrm{\λ}\right)}+cons\tan t$

${\mathrm{lnq}}_s\left(s\right)=\<\ln p(y,\mathrm{\θ}){\>}_{q_x\left(X\right)q_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\α}\right)q_{\mathrm{\γ}}\left(\mathrm{\γ}\right)q_{\mathrm{\λ}}\left(\mathrm{\λ}\right)}+cons\tan t$

${\mathrm{lnq}}_{\mathrm{\λ}}\left(\mathrm{\λ}\right)=\<\ln p(y,\mathrm{\θ}){\>}_{q_x\left(x\right)q_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\α}\right)q_{\mathrm{\γ}}\left(\mathrm{\γ}\right)q_s\left(s\right)}+cons\tan t$

S4、各参量先验：

$\begin{array}{c}p\left(y\right|x,s,\mathrm{\γ})=\underset{i=1}{\overset{M}{\Π}}N{(y_i;A_{i}x,{\mathrm{\γ}}^{-1})}^{s_i}\\ p\left(x\right|\mathrm{\α})=\underset{i=1}{\overset{N}{\Π}}N(x_i;0,{\mathrm{\α}}_i^{-1})\\ p\left(\mathrm{\α}\right|a,b)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Π}}Gamma({\mathrm{\α}}_i;a,b)\\ p\left(\mathrm{\γ}\right|c,d)=Gamma(\mathrm{\γ};c,d)\\ p\left(s\right|\mathrm{\λ})={{\mathrm{\λ}}_i}^{s_i}{(1-{\mathrm{\λ}}_i)}^{1-s_i}\\ p\left(\mathrm{\λ}\right|\mathrm{\ϵ})=\underset{i=1}{\overset{M}{\Π}}Beta(\mathrm{\ϵ},1-\mathrm{\ϵ})=\underset{i=1}{\overset{M}{\Π}}\frac{\mathrm{\Γ}\left(1\right)}{\mathrm{\Γ}\left(\mathrm{\ϵ}\right)\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\ϵ})}{\mathrm{\λ}}_i^{\mathrm{\ϵ}-1}{(1-{\mathrm{\λ}}_i)}^{1-\mathrm{\ϵ}-1}\end{array};$

S5、利用Variational-EM算法更新各参数，具体步骤如下：

S51、更新q_x(x)：由于

其中，D_s＝diag(s)and D_α＝diag(α)，

由于x服从高斯分布，则

S52、更新q_α(α)：由于

$\begin{array}{c}p\left(x\right|\mathrm{\α})=\underset{i=1}{\overset{N}{\Π}}N(x_i;0,{\mathrm{\α}}_i^{-1}),p\left(\mathrm{\α}\right|a,b)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Π}}Gamma({\mathrm{\α}}_i;a,b)\\ \⇒{\mathrm{lnq}}_{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\α}\right)\∝\<\ln p\left(x\right|\mathrm{\α})+\ln p\left(\mathrm{\α}\right|a,b){\>}_{q_x\left(x\right)}\\ =\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}\<0.5{\mathrm{ln\α}}_i-0.5x_i^2{\mathrm{\α}}_i+{\mathrm{aln\α}}_i-{\mathrm{b\α}}_i\>\\ =\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}\<(0.5+a){\mathrm{ln\α}}_i-(0.5x_i^2+b){\mathrm{\α}}_i\>\end{array},$

由于

S53、更新q_γ(γ)：由于

则，

$\mathrm{\γ}=\frac{(c+0.5M)}{d+0.5({(y-\mathrm{Ax})}^T{D}_s(y-\mathrm{Ax})+\mathrm{trace}\left(A^{T}A{\mathrm{\Φ}}_x\right))};$

S54、更新q_s(s)：由于

$\begin{array}{c}p\left(y\right|x,s,\mathrm{\γ})=N{(y_i;A_{i}x,{\mathrm{\γ}}^{-1})}^{s_i}\\ p\left(s\right|\mathrm{\λ})={{\mathrm{\λ}}_i}^{s_i}{(1-{\mathrm{\λ}}_i)}^{1-s_i}\end{array},$

其中，同时

S55、更新q_λ(λ)：由于

$\begin{array}{c}p\left(s\right|\mathrm{\λ})=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}{{\mathrm{\λ}}_i}^{s_i}{(1-{\mathrm{\λ}}_i)}^{1-s_i}\\ p\left(\mathrm{\λ}\right|\mathrm{\ϵ})=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}\mathrm{Beta}(\mathrm{\ϵ},1-\mathrm{\ϵ})=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}\frac{\mathrm{\Γ}\left(1\right)}{\mathrm{\Γ}\left(\mathrm{\ϵ}\right)\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\ϵ})}{{\mathrm{\λ}}_i}^{\mathrm{\ϵ}-1}{(1-{\mathrm{\λ}}_i)}^{1-\mathrm{\ϵ}-1}\\ \⇒\ln q_{\mathrm{\λ}}\left(\mathrm{\λ}\right)\∝\<\ln p\left(s\right|\mathrm{\λ})+\ln p\left(\mathrm{\λ}\right|\mathrm{\ϵ}){>}_{q_s\left(s\right)}\\ \∝\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\<s_i\ln {\mathrm{\λ}}_i+(1-s_i)\ln (1-{\mathrm{\λ}}_i)+(\mathrm{\ϵ}-1)\ln {\mathrm{\λ}}_i-\mathrm{\ϵ}\ln (1-{\mathrm{\λ}}_i)>,\\ =\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\<(s_i+\mathrm{\ϵ}-1)\ln {\mathrm{\λ}}_i+(1-s_i-\mathrm{\ϵ})\ln (1-{\mathrm{\λ}}_i)>\end{array},$

则故

S6、若S5迭代过程满足终止条件停止迭代，否则返回S5进行下一次迭代。