[发明专利]一种基于曲面族包络（面）原理的高次曲面参数化建模方法

权利要求书

1.一种基于曲面族包络(面)原理的高次曲面参数化建模方法，其特征在于：其高次曲面参数化建模方法的步骤是：

S1、分析简单曲面及其数学表示方法

在空间直角坐标系中，对于给定的一张曲面∑，把∑看作是动点M按照一定的规律运动所形成的轨迹，用M点的坐标(x，y，z)所满足的方程表示，其形式有：

I、参数式

$\mathrm{\Σ}:\left(\begin{array}{c}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}\right.,(u,v)\∈U---\left(1\right)$

式(1)为曲面∑的参数式，或参数表示，u与v称为∑的参数，其向量方程为：

r＝r(u，v)＝{x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)} (2)

II、显式

如果动点M的坐标(x，y，z)满足方程：

z＝f(x，y)或z＝z(x，y)(3)

称上式为曲面∑的显式表示，只要坐标(x，y，z)满足(3)，则M(x，y，z)点的集合就是曲面∑；

III、隐式

如果动点M(x，y，z)满足方程：

F(x，y，z)＝0 (4)

且F_z(x，y，z)≠0，则称上(4)式为曲面∑的隐式表示，∑是动点M的集合；

以上三种表达形式在一定条件下，具有等价性；如果曲面∑采用公式(1)的形式表示，且函数x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)对自变量u与v具有连续的一阶偏导数，同时矩阵：

$J=\left(\begin{array}{ccc}{x}_u& y_u& z_u\\ x_v& y_v& z_v\end{array}\right)$

的秩rank(J)＝2，则称曲面∑为简单曲面，∑上的点为正常点；或者说，由正常点组成的曲面称为简单曲面；简单曲面上每一点的法向量为非零向量，即N＝r_u×r_v≠0，因此简单曲面都可以用参数式、显式或者隐式来表示；

S2.确定单参数运动状态下单参数曲面族表示方法

空间曲面以参数a运动(或变化)，就会形成一族曲面，对应某个a值，就会有确定的曲面与之对应，则称这族曲面为单参数曲面族；空间曲面族的表示法同样也有三种：

I、曲面族的参数式和向量方程

曲面族的参数式：

$\left\{s_a\right\}:\left(\begin{array}{c}x=x(u,v,a)\\ y=y(u,v,a)\\ z=z(u,v,a)\end{array}\right.$

其中：(u，v)∈U，a∈D，U与D都是实数集合；

向量方程：

r＝r(u，v，a)＝{x(u，v，a)，y(u，v，a)，z(u，v，a)}

II、曲面族的显式表示：

z＝f(x，y，a)或z＝z(x，y，a)

III、曲面族的隐式表示：

F(x，y，z，a)＝0

S3、分析单参数曲面族的包络(面)存在的充要条件

对于给定的单参数曲面族{s_a}，如果空间存在一张曲面∑，对于任意的点p_a∈∑，有族中曲面在该点与∑相切；对于任意的α∈D，必有点p_a∈s_a，使得∑在该点与s_a相切；则称∑是单参数曲面族{s_a}的包络，p_a称为切点；

因此可以简单的表示为：

s_a与∑在点p_a相切；∑与s_a在点p_a相切，

则称∑为单参数曲面族{s_a}的包络；

I、单参数曲面族包络存在的充分条件

单参数曲面族r＝r(u，v，a)的包络存在的充分条件为：

Φ＝(r_u，r_v，r_a)＝0且Φ_a≠0

II、单参数曲面族包络存在的必要条件

单参数曲面族r＝r(u，v，a)的包络存在的必要条件为：

Φ(u，v，a)＝(r_u，r_v，r_a)＝0

III、单参数曲面族包络的表达形式

包络∑的参数方程：

$\mathrm{\Σ}:\left(\begin{array}{c}x=x(u,v,a)\\ y=y(u,v,a)\\ z=z(u,v,a)\\ \mathrm{\Φ}=\frac{\∂(x,y,z)}{\∂(u,v,a)}=0\end{array}\right.$

包络∑的向量方程：

$\mathrm{\Σ}:\left(\begin{array}{c}r=r(u,v,a)\\ (r_u,r_v,r_a)=0\end{array}\right.$

S4、高次曲面数学建模

S41.坐标系建立

高次曲面数学模型建立过程中坐标系建立如下：直角坐标系o₁-x₁y₁z₁与o-xyz分别固联在砂轮和推力轴承上，其中砂轮轴与y₁轴重合，y₁与z之间的距离为W(砂轮相对轴承回转中心偏移量)，推力轴承轴线与z轴重合，推力轴承平面部分位于o-xy平面内，y轴位于推力轴承高次曲面与平面交线位置，位于y₁＝μ+δ平面内的砂轮截面圆曲线，P点是t时刻砂轮截面圆曲线与高次曲面的接触点(特征点)，初始时刻x₁轴位于xoz坐标面内，x₁与x轴间距离为s(φ)(砂轮相对于推力轴承的位移函数)，z轴和z₁轴之间夹角为β(机床结构保证)；动坐标系o₁-x₁y₁z₁(砂轮)绕z轴(轴承轴线)逆时针旋转的同时，且沿平行于z轴方向作往复直线运动(即砂轮绕推力轴承轴线逆时针旋转的同时且沿平行于推力轴承轴线方向往复直线运动)，t时刻x₁轴相对初始位置转角为φ(t时刻砂轮转角)；推力轴承高次瓦面的曲面法向量与z轴正向夹角为锐角(即瓦面向上)，回转体砂轮母线为非直母线；

砂轮位移函数表达式：

s(φ)＝s(ωt)

φ＝ωt

其中：ω-砂轮相对于推力轴承的旋转角速度(rad/s)；

z₀-高次面数；

β-z轴和z₁轴之间夹角，砂轮轴线与推力轴承轴线之间的夹角为90°-β；

φ-t时刻砂轮轴线相对于推力轴承的转角；

r(δ)-砂轮母线方程；

S42.砂轮廓形方程

向量形式：

r₁＝r₁(δ，θ)＝i[(r+δtanα)cosθ]+j(u+δ)+k[(r+δtanα)sinθ](1)

参数形式：

$\left(\begin{array}{c}{x}_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})=(r+\mathrm{\δ}tan\mathrm{\α})cos\mathrm{\θ}\\ y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})=u+\mathrm{\δ}\\ z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})=(r+\mathrm{\δ}tan\mathrm{\α})sin\mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(2\right)$

S43.砂轮相对于推力轴承逆时针旋转形成的曲面族方程：

r＝r₀+A_z(φ)A_x(β)(r_x+r₁)

$\left[\begin{array}{c}x(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ y(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ z(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ s\left(\mathrm{\φ}\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\φ}& -\sin \mathrm{\φ}& 0\\ \sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\φ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\β}\\ 0& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})+w\\ y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})\\ z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}x(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ y(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ z(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\φ}+wcos\mathrm{\φ}-y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\β}sin\mathrm{\φ}+z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})sin\mathrm{\β}sin\mathrm{\φ}\\ x_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})sin\mathrm{\φ}+w\sin \mathrm{\φ}+y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\β}\cos \mathrm{\φ}-z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})\sin \mathrm{\β}cos\mathrm{\φ}\\ y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})sin\mathrm{\β}+z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\β}+s\left(\mathrm{\φ}\right)\end{array}\right]---\left(3\right)$

将公式(2)代入公式(3)得：

向量形式：

参数形式：

当砂轮采用直母线砂轮磨削时，高次曲面数学模型：

向量形式：

其中：

$\mathrm{\θ}=2atan\left(\frac{-H+\sqrt{H^2+I^2-J^2}}{J-I}\right)$

I＝(r+δtanα)tanαcosβ+(u+δ)cosβ

H＝wsinβ-s′(φ)cosβ

J＝wtanαcosβ+s′(φ)tanαsinβ

参数形式：

x(δ，θ，φ)＝(r+δtanα)(cosθcosφ+sinθsinβsinφ)-(u+δ)sinφcosβ+w cosφ

y(δ，θ，φ)＝(r+δtanα)(sinφcosθ-sinθsinβcosφ)+(u+δ)cosβcosφ+w sinφ

z(δ，θ，φ)＝(r+δtanα)sinθcosβ+(u+δ)sinβ+s(φ)

其中：

$\mathrm{\θ}=2atan\left(\frac{-H+\sqrt{H^2+I^2-J^2}}{J-I}\right)$

I＝(r+δtanα)tanαcosβ+(u+δ)cosβ

H＝w sinβ-s′(φ)cosβ

J＝w tanαcosβ+s′(φ)tanαsinβ。