[发明专利]一种基于随机平均法的概率密度追踪控制方法

说明书

技术领域

本发明涉及随机控制和非线性系统领域，具体地说，特别涉及到一种基于随机平均法的概率密度追踪控制方法。

背景技术

传统意义上，随机非线性控制的设计是基于线性化方法。许多行之有效的控制方法只关心两个被控量，即均值和方差或协方差。这类控制基于所述系统输出符合高斯分布的假定。然而，对于具有本质非线性特性的许多实际过程，如化工、炼钢或造纸的粒度分布的控制等，这些系统不能被线性化。此时，均值和方差或协方差不足以表征输出过程，因为一个随机非线性系统的输出通常为非高斯。因此，在最近十几年，一些基于随机非线性系统输出的概率密度函数(PDF)的反馈控制方法研究得到了越来越多的科研人员的关注。

发明内容

本发明基于拟哈密顿系统随机平均法，为高斯白噪声激励下多自由度非线性系统设计反馈控制，使得该系统的输出概率密度近似收敛于给定的平稳概率密度。首先根据给定系统相应的哈密顿系统的可积性和共振性，选择相应的随机平均FPK方程，接着将反馈控制力分成保守和耗散两部分：用保守部分改变系统的哈密顿特性，使之与目标概率密度相应的哈密顿函数一致；再用控制力的耗散部分耗散系统的能量，使得响应的概率密度趋于给定的目标概率密度。最后用Lyapunov函数和椭圆微分算子证明受控后系统的平稳概率密度确实能够收敛到目标平稳概率密度。

本发明采取以下步骤：

将高维系统动力学方程转化为随机微分方程

设阻尼力与随机激励强度同为ε阶小量，此时系统可改写为拟哈密顿系统方程

根据给定系统相应的哈密顿系统的可积性和共振性，选择相应的随机平均FPK方程：分别包括不可积，可积非共振，可积共振，部分可积非共振，部分可积共振五类。

控制力分为保守和耗散两部分：将保守控制力与合并使得受控后系统的新的哈密顿函数与目标概率密度对应的哈密顿函数相同。耗散控制力则与合并使其满足相应的收敛条件。

五类情况对应的控制律形式分别表示如下：

1.不可积情形

2.可积非共振情形

或

3.可积共振情形

4.部分可积非共振情形

5.部分可积共振情形

利用Lyapunov函数和椭圆微分算子证明受控后系统的平稳概率密度与目标概率密度一致。

与现有技术相比，本发明的有益效果如下：

运用随机平均法这一工具，可以使高维系统降为低维系统或一维系统，从而极大程度上减少了运算。

附图说明

图1是本发明随机非线性系统控制方法流程图。

图2是实施例中受控系统转移概率密度的演变过程。

具体实施方式

为使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体实施方式，进一步阐述本发明。

实施例1

参见图1和图2，考虑受Gauss白噪声参激的线性与非线性弹性耦合的两个van der Pol振子，其运动微分方程为

式中ω_i,λ_i,α_i,f_i(i＝1,2)及a为常数；ξ_k(t)(k＝1,2)是具有谱密度Si的独立Gauss白噪声。系统的Wong-Zakai修正项为零，与相应的哈密顿系统的哈密顿函数为

系统可模型化为如下随机微分方程：

式中

令目标概率密度为

显然与之相应的哈密顿系统是不可积的。可以看出除了和q₁q₂的系数不同，其他参数均与相同。因此，如果选用如下一组保守控制力

那么受控系统将具有相同的首次积分。

可以得到耗散控制力

为了证明受控后系统的转移概率密度随时间收敛到目标概率密度，可令Lyapunov函数为

而V(q,p)的微分为