[发明专利]基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法

权利要求书

1.基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于它按以下步骤实现：

步骤一：建立控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模型，并得到状态空间方程；

步骤二：求解代数Lyapunov方程的显式解P₀：

A^TP₀+P₀A＝-D^TD

其中A是小卫星姿态控制系统的系统矩阵，D是任意维数的矩阵，由于系统矩阵A是临界稳定或是Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解P₀；

步骤三：通过代数Lyapunov方程的正定解P₀，设计显式的控制受限情形下的线性反馈控制律，即设计控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定控制器和基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器；通过构造显式的Lyapunov函数，保证闭环系统的全局渐近稳定性。

2.根据权利要求1所述的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于步骤一具体为：

(1)坐标系定义

引入地心赤道惯性坐标系X-Y-Z记作F_i，其中X轴指向春分点，X-Y面为地球赤道面，Z轴沿地轴指向北极；

F_b记为卫星本体坐标系，F_o为轨道坐标系，其坐标原点位于卫星的质心，x_o沿着轨道方向，y_o垂直于轨道面，z_o是最低点方向；

在轨道坐标系F_o下描述卫星的姿态，如果卫星姿态达到期望位置，则卫星本体坐标x_b-y_b-z_b和轨道坐标x_o-y_o-z_o完成重合；

卫星本体坐标系F_b和轨道坐标系F_o之间通过姿态矩阵Ψ相联系

其中，所述q＝[q₁,q₂,q₃,q₄]^T是四元数，设卫星本体坐标系F_b相对于轨道坐标系F_o在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置分量分别是x,y,z，和分别表示姿态矩阵Ψ在三个坐标轴方向分量；

(2)建立小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型

小卫星的姿态运动学模型：

q·=120ωrz-ωryωrx-ωrz0ωrxωryωry-ωrx0ωrz-ωrx-ωry-ωrz0q,---(1)]]>

小卫星的姿态动力学方程：

Jxω·x+(Jz-Jy)ωyωz=Tgx+Tmx,Jyω·y+(Jx-Jz)ωxωz=Tgy+Tmy,Jzω·z+(Jy-Jx)ωyωx=Tgz+Tmz,---(2)]]>

其中，所述表示卫星绕地球旋转的角速度，μ＝3.986×10¹⁴m³/s²是地球引力常数，r是卫星环绕轨道的半长轴，ω_r＝[ω_rx,ω_ry,ω_rz]^T是卫星本体坐标系F_b相对于轨道坐标系F_o的相对角速度，ω_rx，ω_ry和ω_rz分别表示角速度ω_r在三个坐标轴方向的分量；J_x,J_y和J_z是航天器的转动惯量，ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T是卫星本体坐标系F_b相对地心赤道惯性坐标系F_i的角速度，ω_x，ω_y和ω_z分别表示角速度ω在三个坐标轴方向的分量；T_mx，T_my和T_mz分别表示磁力矩在三个坐标轴方向的分量；向量T_g是重力梯度力矩，

其中T_gx，T_gy和T_gz分别表示重力梯度力矩在三个坐标轴方向的分量，J＝diag{J_x,J_y,J_z}，×表示叉积；

向量ω_r和ω满足

向量T_m＝[T_mx,T_my,T_mz]^T是磁力矩，表示为

T_m＝m×b, (4)

其中m＝m(t)＝[m_x(t),m_y(t),m_z(t)]^T是磁力矩器产生的磁偶极矩，m_x(t)，m_y(t)和m_z(t)分别表示磁偶极矩在地心赤道惯性坐标系的三个坐标轴方向的分量，b表示在地心赤道惯性坐标系F_i中的地磁场矢量；忽略地球扁率的影响，则在轨道坐标系F_o中地磁场矢量表示为

b0=μmr3cosω0t sin i-cos im2sinω0t sin im=b1(t)b2(t)b3(t),---(5)]]>

其中，b₁(t)，b₂(t)和b₃(t)分别表示地磁场b₀在三个坐标轴方向的分量，i_m是航天器在磁赤道上的倾角，时间测定是从t＝0在升交点穿越磁赤道开始；场偶极子强度μ_m＝7.9×10¹⁵Wb-m，b和b₀的关系为

b＝Ψb₀ (6)；

(3)由小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型得到状态空间方程

在平衡点q^*＝[0,0,0,1]^T和ω^*＝[0,-ω₀,0]^T处姿态运动学模型(1)与姿态动力学模型(2)可得

q·1q·2q·3=12ωx+2ω0q3ωy+ω0ωz-2ω0q1,---(7)]]> 2

ω·xω·yω·z=-8ω02q1σ1-2ω0σ1q·3-6ω02σ2q22ω0σ3q·1-2ω02σ3q3+J-1Tm,---(8)]]>

其中，所述和此时有Ψ＝I₃，I₃是3阶单位矩阵，从(4)和(6)中得到T_m＝m×b₀

选取状态向量控制向量m和输出向量y(t)＝[q₁,q₂,q₃]^T,由方程(7)和(8)可得状态空间方程

χ·(t)=Aχ(t)+B(t)m(t),y(t)=Cχ(t),---(9)]]>

其中A为系统矩阵，B(t)是输入矩阵，C是输出矩阵，分别有如下形式

A=000100000010000001-4ω02σ10000ω0(1-σ1)0-3ω02σ2000000-ω02σ3ω0(σ3-1)00,---(10)]]>

B(t)=0000000000b3(t)Jx-b2(t)Jx-b3(t)Jy0b1(t)Jyb2(t)Jz-b1(t)Jz0,C=100010001000000000T---(11)]]>

其中，所述B(t)是一个周期为的周期矩阵，A是系统矩阵，C是一个常数矩阵；小卫星滚转角V，俯仰角θ，偏航角ψ与四元数q之间的关系为

式(9)具有如下特殊的性质：(A,B(t))能控，(A,C)能测，且当(σ₁,σ₂,σ₃)满足如下

0<σ2,0<σ1σ3:=φ1,0<3σ1+σ3σ1+1:=φ2,0<(3σ1+1+σ3σ1)2-16σ1σ3=φ22-16φ1---(12)]]>

时，系统矩阵A的特征值都在虚轴上，并且特征值的代数和几何重数都是1，即系统矩阵A是Lyapunov稳定或临界稳定的；

所述小卫星为控制受限小卫星，主要表现在：

其中表示磁力矩器在地心赤道惯性坐标系中的k轴上能产生的最大磁偶极矩分量。