[发明专利]随机激励下大规模结构设计方法

权利要求书

1.一种随机激励下大规模结构设计方法，其特征在于包括以下步骤：

(a)建立设计空间有限元模型，设置拓扑设计变量η_h初始值，h是正整数表示单元编号，1≤h≤N_h，N_h表示结构单元总数量；给定材料密度ρ和杨氏模量E；给定质量约束上限

(b)设置激励载荷，给出随机激励f(t)的功率谱密度矩阵S_f(ω)，f(t)为p维列向量，p为载荷中力的个数，t表示时间，S_f(ω)为p维方阵，其下标f表示其为激励f(t)的功率谱矩阵；ω为激励角频率，载荷的激励频段为表示激励角频率的下限，表示激励角频率的上限；根据矩阵LDLT分解，存在下式成立

Sf(ω)=Σq=1Q(γq)*(γq)T]]>

其中Q为矩阵S_f(ω)的秩，γ_q为p维列向量表示第q个虚拟简谐激励，1≤q≤Q，上标T表示向量或矩阵的转置；

(c)根据当前设计变量值，采用以下公式分别计算每一个有限元单元的材料密度ρ_h和杨氏模量E_h

ρ_h＝η_hρ

Eh=15ηh5+ηh16E]]>

更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析；

(d)从有限元分析结果中提取每个单元的刚度矩阵k_h和质量矩阵m_h，结构的前l阶模态频率值ω_i，1≤i≤l，模态振型为n行l列矩阵，n为结构总自由度数目；设置结构前l阶模态的阻尼比ζ_i；采用虚拟激励法结合模态加速度法计算结构自由度r的随机位移响应均方根的公式为

σur=(∫ω‾ω‾Σq=1Q||(gq(t))r||2dω)1/2]]>

式中u表示位移，||(g_q(t))_r||表示复数(g_q(t))_r的模，g_q(t)为n维列向量表示结构在第q个虚拟简谐激励γ_q下的位移响应，其第r项的计算公式为

式中a为n维列向量，只有第r项为1，其它项均为0；为的第i列；b为n行p列由0、1组成的载荷分布矩阵，假如f(t)中第d个力施加在第z个自由度上，则b的第d列中只有第z个元素值是1，d列中其它元素值均为0；e^jωt表示以自然常数e为底数的指数函数，j²＝-1；上式中，

Hi=(ωi2-ω2+2jζiωiω)-1]]>

x_q＝k^-1(bγ_q)

式中k为结构有限元整体刚度矩阵，x_q是第q个静力载荷bγ_q下的位移向量；

结构自由度r的随机位移响应均方根对每一设计变量的灵敏度的计算公式为

∂σur∂ηh=12σur∫ω‾ω‾Σq=1Q||(gq(t))r||2∂ηhdω]]>

式中为偏微分符号，上式中

∂||(gq(t))r||2∂ηh=2||(gq(t))r||∂||(gq(t))r||∂ηh]]>

式中

∂||(gq(t))r||∂ηh=(Re((gq(t))r)Re(∂(gq(t))r∂ηh)+Im((gq(t))r)Im(∂(gq(t))r∂ηh))||(gq(t))r||-1]]>

式中Re表示复数的实部，Im表示复数的虚部，而

式中

aT∂xq∂ηh=-(ΛT)h∂kh∂ηh(xq)h]]>

∂Hi∂ηh=-Hi2(2ωi∂ωiηh+2jζiω∂ωiηh)]]>

式中(x_q)_h表示结构在第q个静力载荷bγ_q下单元h的位移向量，(Λ^T)_h表示结构在静力载荷向量a下单元h的位移向量的转置；g表示模态阶数，1≤g≤l，表示单元h的第i阶模态振型向量；上式中

Λ＝k^-1a

∂kh∂ηh=75ηh4+115ηh5+ηhkh]]>

∂mh∂ηh=1ηhmh]]>

读取每个单元的体积V_h，计算结构整体质量M及其对每一设计变量的灵敏度计算式分别为

M=Σh=1NhρhVh]]>

∂M∂ηh=ρVh]]>

(e)根据当前设计变量值和灵敏度值，以结构自由度r的随机位移响应均方根为目标函数，结构整体质量M为设计约束，采用数学规划法对优化问题进行求解得到新的设计变量值；

(f)重复步骤(c)至步骤(e)，直至最近两次迭代计算得到目标函数相对误差小于1％或达到预设的最大迭代次数，得到设计结果。