[发明专利]一种基于施密特正交化的正交基训练方法

说明书

技术领域

本发明涉及信号的稀疏表示方法，具体涉及稀疏表示正交基的构造，以及信号在训练得到正交基下的稀疏表示。

背景技术

在信号分析中，对信号的表示往往采取两种最基本的形式：时域形式和频域形式。从信号的时域描述，可分辨出信号的某些特征，如变化的快慢，取值范围，连续或离散等，然而有时候信号频域描述更为人们所关注。有些在时域内看不清的问题，在频域则一目了然。频域分析方法较之时域分析方法有许多突出优点，尤其是快速傅立叶变换的提出使得频域分析成为信号分析不可缺少的工具。在数字信号处理中，为了有效和快速地对信号进行处理和分析，常常需要将原始时间域信号转换到频率域上，并利用在频域中的特有性质更方便地进行一些加工处理，最后再变换到时间域以得到所需的结果。因此，对这类信号来说，频域可以看成一个信号的更理想的表示方式。由此，引出了信号的变换域表示。

现实世界中存在着形形色色的信号，如电台广播信号、人类的语音、动物的叫声、雷达和声纳信号、生物医学信号等。信号分析的一个主要目的就是找到一个更能体现信号本质的表示方法，使得人们更容易把握信号的本质。

将长度为N的时域离散信号f(n)进行某种变换，将其分解为N个基本函数p_k(n)的线性叠加形式：

f(n)=Σk=1Nckpk(n)]]>

其中c_k称为变换系数或展开系数。上式提供了一种通用的信号表达方式。信号分解就是将信号用另一组基来表示的过程。当式中展开函数{p_k}为一组相互正交的函数时，这样的分解过程就称为正交分解。

用数学语言描述为：在N维向量空间V中，任意N个线性无关向量都可称为它的一组基。V中任一向量f都可以表示成这组基{p₁,p₂,…p_N}的线性组合,且表示式是唯一的。

f=Σk=1Nckpk]]>

用矩阵表示为：

f＝PC

其中P＝[p₁,p₂,…p_N]可逆。C是展开系数，可以由下式求出

C＝[c₁c₂…c_N]^T＝P^-1f

在信号处理领域，常用的正交分解包括傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换。

在此模型下，人们总是希望以尽量“简洁”的形式描述出信号。如果一个表达式不仅准确而且简洁地表示出一个信号，则可以断言该信号表示式抓住了此信号的主要特征，这对信号的压缩、去噪、识别等后续处理是十分有利的。

为了得到信号更“简洁”的形式，一个直观的方法就是使得信号表示的系数非零值最少，即信号的分解系数是稀疏的。

稀疏的数学定义是这样的：信号X在正交基Ψ上的变化系数向量表示为X＝ΨΘ，如果在0<p<2和R>0的情况下，这些系数满足下式：