[发明专利]复合材料格栅结构低速冲击定位方法

权利要求书

1.一种复合材料格栅结构低速冲击定位方法，其特征在于：包括如下步骤

步骤一：冲击定位

根据时差定位法，在构件表面有规则地布设4个压电传感器PZT1，PZT2，PZT3，PZT4，并对传感信号进行适当的处理，测量出传感器接收到的信号的时间差并换算得到声发射源，即冲击位置，假设冲击源I的坐标为（x_I，y_I），由冲击引发的Lamb波传播的波速为Vg，到达各传感器的时间为t_i，那么通过求解下列方程组就可以得到冲击源的位置：

(x₁-x_I)²+(x-y_I)²-(t₁V_g)²＝0

(x₂-x_I)²+(x-y_I)²-[(t₁+Δt₁₂)V_g]²＝0   （1）

(x₃-x_I)²+(x-y_I)²-[(t₁+Δt₁₃)V_g]²＝0

(x₄-x_I)²+(x-y_I)²-[(t₁+Δt₁₄)V_g]²＝0

其中，t₂=t₁+Δt₁₂，t₃=t₁+Δt₁₃，t₄=t₁+Δt₁₄，Δt_1j(j=2,3,4)为相对于PZT1的时间差，

由公式（1）可知，假设Δt_1j已知，那么就可以通过求解自变量为x＝[x_I y_I t₁ V_g]^T的非线性方程组来获取冲击源的位置及Lamb波的传播速度；

步骤二：连续小波变换

通过小波变换分析声发射信号，对任意给定的f(t)，其连续小波变换（CWT）定义为：

CWT(a,b)=<f(t)|ψa,b(t)>=1a∫-∞+∞f(t)ψ*(t-ba)dt---(2)]]>

其中a为尺度因子，b为平移因子，ψ^*(t)是母小波ψ(t)的复共轭，ψ_a,b(t)为小波基函数，是由母小波ψ(t)经时间轴的平移、伸缩得到的：

ψa,b(t)=1aψ(t-ba)---(3)]]>

采用复数Morlet小波作为分析小波，其表达式为：

ψmorlet(t)=1πfbeiωcte-t2fb=1πfee-t2fb[cos(ωct)+isin(ωct)]---(4)]]>

式中：f_b为小波带宽参数，f_c为小波中心频率参数，对其作傅里叶变换有：

ψmorlet(ω)=∫-∞+∞ψmorlet(t)e-iωtdt=∫-∞+∞1πfbejωcte-t2fbe-iωtdt---(5)]]>

令ω_c＝2πf_c,ω_b＝2πf_b，则上式可改写为：

ψmorlet(ω)=2ωb∫-∞+∞e-2πt2ωb+iωcte-iωtdt=e-12ωb4π(ω-ωc)2---(6)]]>

同理有，Morlet连续复数小波函数的傅立叶变换：

ψmorlet-ab(ω)=ae-iωbe-12ωb4π(aω-ωc)2---(7)]]>

由式（4）至（7）得出：Morlet连续复数母小波函数看作是中心在t=0，傅立叶变换的中心在ω＝ω_c的函数；Morlet连续复数小波ψ_morlet-ab(t)＝ψ_morlet((t-b)/a)的中心在t=b，其傅立叶变换的中心在ω＝ω_c/a；因此，Morlet连续复数小波变换表示的是f(t)在t=b，ω＝ω_c/a左右的时频成分；

CWT系数的实部用于决定尺度的大小，而系数的模平方，亦称尺度谱，表征信号在任意时刻各个尺度下的能量密度，其表达式为：

|CWT(a,b)|²＝CWT(a,b)·CWT^*(a,b)   （8）

尺度谱系数越大，携带的能量也越高，能量最大处，在尺度谱上表现为能量波峰，所对应的瞬态频率即为被分析信号的主频，即分析频率；而且能量波峰在时域上的映射与应力波的到达时间一致，利用小波变换获取波达时间，从而计算各路传感信号相对于PZT1的时间差Δt_1j，分析频率与尺度因子之间有如下关系：

f=fca·T---(9)]]>

其中，f为分析频率，f_c为小波变换的中心频率，T为采样周期；

步骤三：基于牛顿法的无约束优化算法

考虑非线性方程组（1），通过小波变换获取三个时延Δt₁₂、Δt₁₃、Δt₁₄，还需通过确定Lamb波的群速度进而获得声发射源的位置，其包括：

3.1.牛顿法求解非线性方程组

假设是二次利普希茨（Lipschitz）连续可微函数，为n维欧几里德空间，则非线性方程组可表示为：

F(x)=0   （10）

其中F是函数F_i（i=1，2，…）的向量，x是自变量x_j（j=1，2，…）的向量，同理，若x^*满足F(x^*)＝0，且当初始点x⁰充分接近x^*时，按照下述迭代公式产生的序列{xⁿ}收敛于x^*

xⁿ⁺¹＝xⁿ+δxⁿ＝xⁿ-J(xⁿ)^-1·F(xⁿ)   （11）

其中，δx=[-J(x)^-1·F(x)]，为牛顿步长；J(x)为雅可比（Jacobian）矩阵，包含了目标函数F(x)对变量的一阶偏导数，公式（11）中F＝[F₁ F₂ F₃ F₄]^T，x＝[x_I y_I t₁ V_g]^T，其雅可比矩阵表达式为：

J(x)=∂F(x)∂x∂F1∂xI∂F1(x)∂yI∂F1(x)∂t1∂F1(x)∂Vg∂F2(x)∂xI∂F2(x)∂yI∂F2(x)∂t1∂F2(x)∂Vg∂F3(x)∂xI∂F3(x)∂yI∂F3(x)∂t1∂F3(x)∂Vg∂F4(x)∂xI∂F4(x)∂yI∂F4(x)∂t1∂F4(x)∂Vg---(12)]]>

3.2.无约束优化算法

采用牛顿法和无约束优化技术相结合的算法来极小化目标函数（亦称性能函数）F：

在无约束优化算法中，用F的模平方来表征目标函数：

f(x)=12||F(x)||2=12F(x)·F(x)---(14)]]>

其中系数因子1/2是为了计算方便而引入的常数，可以证明，f的根均满足等式f(x^*)＝0，

阻尼牛顿法是增加沿牛顿方向的线搜索，其迭代公式为：

xⁿ⁺¹＝xⁿ+λ_nδxⁿ  0＜λ≤1   (15)

其中λ为由一维搜索得到的最佳步长，其初始值为1，线搜索有精确线搜索和非精确线搜索之分；其中精确线搜索，是指求λ_n使目标函数f沿牛顿方向达到极小，即满足

f(xn+λnδxn)=minλ>0f(xn+λnδxn)---(16)]]>

采用Armijo-Goldstein准则进行非精确线搜索

设f(x)可微，取Armijo-Goldstein准则可表示为：

f(xn+λnδxn)≤f(xn)+αλn▿f(xn)T·δxn---(17)]]>

取α=10^-4，可以证明，此时算法的搜索方向是下降方向，因为：

▿f(xn)T·δxn=12▿[F(xn)·F(xn)]·δxn=[F(xn)·J(xn)]·[-J-1(xn)·F(xn)]=-F(xn)·F(xn)<0---(18)]]>

采用后退线搜索法，即通过最小化多项式模型来求得λ的值：

g(λⁿ)＝f(xⁿ+λ_nδxⁿ)   （19）

因此，对任意一个牛顿下降方向δxⁿ，式（19）需满足式（17）和式（18），所以有：

g′(λn)=▿f(xn)T·δxn---(20)]]>

一开始，假设模型g给定并且线性，即

g(0)=f(xn),g′(0)=▿f(xn)T·δxn---(21)]]>

令λ₀=0，如果多项式模型满足

g(1)＝f(xⁿ+δxⁿ)＞g(0)+αg′(0)   （22）

则终止搜索，否则，将通过插入之前求得的g(0)、g(1)和g′(0)三个已知量来构造g(λ)的二次函数模型：

g_q(λ)≈[g(1)-g(0)-g′(0)]λ²+g′(0)λ+g(0)   （23）

通过求上式的最小值，可解出λ₁

λ1=-g′(0)λ022[g(1)-g(0)-g′(0)]---(24)]]>

如果λ₁太小，则上述二项式的建模就不精确，因此，λ₁<0.1，令λ₁=0.1，若此时g(λ_k)＝f(x^k+λ_kδx^k)仍不满足式（17），则需要进一步后退，考虑三次模型：

g_c(λ)＝aλ³+bλ²+g′(0)λ+g(0)   （25）

利用之前得到的前两个λ，即λ₀和λ₁，可求得上式的系数

ab=1λ02λ12(λ1-λ0)λ02-λ12-λ03λ13×g(λ1)-g(0)-g′(0)λ1g(λ2)-g(0)-g′(0)λ2---(26)]]>

则g_c(λ)的极小值点为

λ2=-b+b2-3ag′(0)3a---(27)]]>

在后退过程中，若λ_k>0.5λ_k-1，取λ_k=0.5λ_k-1；若λ_k<0.1λ_k-1，取λ_k=0.1λ_k-1，这样能保证算法的稳定，多项式后退法的基本过程为：

①令λ=1，α=1；

②如果满足式（17），则令λ_k=λ停止搜索，输出λ_k；否则，转③；

③建立如式（22）模型，并根据（23）求得λ₁，若λ₁<0.1，令λ₁=0.1；若满足式（17），则令λ_k=λ停止搜索，输出λ_k；否则，转④；

④建立如式（25）多项式函数，根据式（26）和（27）求得λ_n，若λ_n<0.1，令λ_n=0.1，λ_n>0.5，令λ_n=0.5；若满足式（17），则令λ_k=λ停止搜索，输出λ_k；否则，转④。