[发明专利]一种基于三角形域上L曲面和W曲面的递归曲面构造方法

权利要求书

1.一种基于三角形域上L曲面和W曲面的递归曲面构造方法，其特征在于，它的主要步骤包括：

1)首先定义三角参数域上的一般递归形式曲面表示方法：

定义符号：J₀＝(1，0，0)，J₁＝(0，1，0)，J₂＝(0，0，1)，$a=(a_0,a_1,a_2)\∈Z_{+}^3,$设{P_a||a|＝n}为三角域上特征网的顶点，$a\∈Z_{+}^3,$L_a^T((x)，M_a^T(x)，N_a^T(x)为三角域上相应节点处的调配函数，具体要求如下：

L_a^T(x)应该满足1≤a₀≤n，0≤a₁，a₂≤n；

M_a^T(x)应该满足1≤a₀≤n，0≤a₁，a₂≤n；

N_a^T(x)应该满足1≤a₀≤n，0≤a₁，a₂≤n；

且$L_{a+J_0}^T\left(x\right)+M_{a+J_1}^T\left(x\right)+N_{a+J_2}^T\left(x\right)\≡1,r=1,\mathrm{\Λ},n,\left|a\right|=n-r;$

定义三角参数域上一般递归形式曲面的表示方法为：

$\left\{\begin{array}{cc}{d}_a^0\left(x\right)=P_a& \left|a\right|=n\\ d_a^m\left(x\right)=L_a^{n-m+1}\left(x\right)d_{a-J_0}^{m-1}+M_a^{n-m+1}\left(x\right)d_{a-J_1}^{m-1}+N_a^{n-m+1}\left(x\right)d_{a-J_2}^{m-1},m=1,\mathrm{\Λ},n& \left|a\right|=m\end{array}\right.$

其中若a_i-1＜0或者＞0，则令$d_{a-J_i}^{m-1}=0,i=\mathrm{0,1,2};$

2)定义三角域上的n次L曲面

设：$L_a^r\left(x\right)=a_a^{r}x+b_a^r,$$M_a^r\left(x\right)=c_a^{r}x+d_a^r,$$N_a^r\left(x\right)=e_a^{r}x+f_a^r$

(且满足$a_a^r\≠0,$$c_a^r\≠0,$$e_a^r\≠0;$r＝1，2，Λn，|a|＝n-r)

根据1)定义三角域上的n次L曲面为：n次递归曲线必须满足

$\left\{\begin{array}{c}\frac{b_a^r}{a_a^{r+1}}=\frac{b_a^{r+1}}{a_a^{r+1}}\\ \frac{1-b_a^{r+1}}{a_a^{r+1}}=\frac{1-b_{a+J_0}^r}{b_{a+J_0}^r}\end{array}\right.,r=\mathrm{1,2},\mathrm{\Λn};\left|a\right|=n-r$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d_a^r}{c_a^r}=\frac{d_a^{r+1}}{c_a^{r+1}}\\ \frac{1-d_{a+J_1}^r}{c_{a+J_1}^r}=\frac{1-d_{a_0}^{r+1}}{c_{a_0}^{r+1}}\end{array}\right.,r=\mathrm{1,2},\mathrm{\Λn};\left|a\right|=n-r$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{f_a^r}{e_a^{r+1}}=\frac{f_a^{r+1}}{e_a^{r+1}}\\ \frac{1-f_{a+J_1}^r}{e_a^{r+1}}=\frac{1-f_a^{r+1}}{e_a^{r+1}}\end{array}\right.,r=\mathrm{1,2},\mathrm{\Λn};\left|a\right|=n-r$

则为三角域上的n次L曲面；

3)定义W曲面

若n次L曲面继续满足

$0\≤L_a^r\left(x\right),M_a^r\left(x\right),N_a^r\left(x\right)\≤1,r=\mathrm{1,2},\mathrm{\Λn};\left|a\right|=n-r$

则为n次W曲面；

4)转换成Bernstein-Bezier曲面

令：

$\left\{\begin{array}{c}{L}_a^r\left(x\right)=u,\\ M_a^r\left(x\right)=v,\\ N_a^r\left(x\right)=w\end{array}\right.r=\mathrm{1,2},\mathrm{\Λ},n;\left|a\right|=n-r$

则，得到Bernstein-Bezier曲面

$P(u,v,w)=\underset{i+j+k=n}{\mathrm{\Σ}}{P}_{\mathrm{ijk}}{B}_{\mathrm{ijk}}^n(u,v,w),(u,v,w\≥0,u+v+w=1)$

其中$B_{\mathrm{ijk}}^n(u,v,w)=\frac{n!}{i!j!k!}{u}^i{v}^j{w}^k,(i+j+k=n,u+v+w=1),$P_ijk为三角形域网的节点；

5)三角域上Bezier曲面连续拼接

如果给定两片三角域上n次Bezier曲面：

$\left\{\begin{array}{c}P(u,v,w)=\underset{i+j+k}{\mathrm{\Σ}}{P}_{\mathrm{ijk}}(u,v,w)\\ Q(u,v,w)=\underset{i+j+k=n}{\mathrm{\Σ}}{Q}_{\mathrm{ijk}}(u,v,w)\end{array}\right.$

则Q(u，v，w)与P(u，v，w)在拼接线上达到几何连续的条件为：

$\left\{\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}0}=P_{\mathrm{ij}0},& i+j=0\\ Q_{\mathrm{ij}1}=a_1{P}_{(i+1)j0}+a_2{P}_{i(j+1)0}+a_3{P}_{\mathrm{ij}1},& i+j=n-1;a_1+a_2+a_3=1\end{array}\right.$

然后依次连接所有划分的三角域曲面即得到所要的曲面构造。