[发明专利]一种非均匀传输线方程的时域求解方法

摘要

一种非均匀传输线方程的时域求解方法，包括如下步骤：1)将非均匀有损传输线在TEM波近似假设下的电压、电流的时域电报方程和给定的传输线的初始条件和边界条件，在空间采用M等份差分法离散；2)将步骤1)得到的方程和初始条件、边界条件写成矩阵的形式：；3)根据微分方程理论，求解矩阵；4)设定时间步长，写出上述解的时域表达式；5)在一个时间步长(t_j,t_j+1)内线性化F；6)将步骤5)中F代入步骤4)；7)得到t＝t_j+1＝t_j+τ时的表达式：8)求解T阵T＝exp(Hτ)，获得非均匀传输线方程的时域解。本发明完全以传输线的非均匀性为基础，不需要对传输线进行任何近似假设，也不需要进行分段等效，无条件稳定，极大地简化了问题分析的难度，提高了非均匀传输线方程求解的精度和效率。

主权项

一种非均匀传输线方程的时域求解方法，其特征在于，包括如下步骤：1)将非均匀有损传输线在TEM波近似假设下的电压、电流的时域电报方程：$\left\{\begin{array}{c}-\frac{\∂v(x,t)}{\∂x}=R\left(x\right)i(x,t)+L\left(x\right)\frac{\∂i(x,t)}{\∂t}\\ -\frac{\∂i(x,t)}{\∂x}=G\left(x\right)v(x,t)+C\left(x\right)\frac{\∂v(x,t)}{\∂t}\end{array}\right.---\left(1\right)$给定传输线的初始条件和边界条件：v(x,0)＝h₁(x)和i(x,0)＝h₂(x)              (2)v(0,t)＝F₁[i(0,t),v_s(t)]和i(l,t)＝F₂[v(l,t)]        (3)式中：0≤x≤l，l为传输线的长度，R(x)、L(x)、C(x)和G(x)分别是传输线单位长度的电阻、电感、电容和电导，v(x，t)表示传输线上x处t时刻的对地电压，i(x，t)表示传输线上x处t时刻的电流，h₁(x)、h₂(x)分别表示t＝0时传输线上x处的电压、电流，F₁[i(0,t),v_s(t)]表示传输线输入端的电压与输入端电流、激励电压源之间的函数关系，F₂[v(l,t)]表示传输线输出端电流与电压之间的函数关系，v_s(t)表示施加于传输线输入端的激励电压源；在空间采用M等份差分法离散，得到微分方程组：$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂v_{k+1}\left(t\right)}{\∂t}=\frac{i_k\left(t\right)-i_{k+1}\left(t\right)}{C_{k+1}\·\mathrm{\Δ}x}-\frac{G_{k+1}}{C_{k+1}}{v}_{k+1}\left(t\right)\\ \frac{\∂i_k\left(t\right)}{\∂t}=\frac{v_k\left(t\right)-v_{k+1}\left(t\right)}{L_k\·\mathrm{\Δ}x}-\frac{R_k}{L_k}{i}_k\left(t\right)\end{array}\right.---\left(4\right)$传输线初始条件和边界条件：v_k(0)＝h₁(k·Δx)，i_k(0)＝h₂(k·Δx)             (5)v₀(t)＝F₁[i₀(t),v_s(t)]，i_M(t)＝F₂[v_M(t)]        (6)式中，v_k(t)＝v(k·Δx,t)，i_k(t)＝i(k·Δx,t)，R_k＝R(k·Δx)，L_k＝L(k·Δx)，C_k＝C(k·Δx)，G_k＝G(k·Δx)，k＝0,1,L,M‑1，Δx＝l/M；2)将(4)～(6)式写成矩阵的形式：$\frac{dX}{dt}=HX+F---\left(7\right)$式中：X＝(v₁  v₂  …  v_M  i₀  i₁  …  i_M‑1)^T$F={\left(\begin{array}{cccccccc}0& \mathrm{...}& 0& -\frac{i_M}{C_M\mathrm{\Δ}x}& \frac{v_0}{L_0\mathrm{\Δ}x}& 0& \mathrm{...}& 0\end{array}\right)}^T$3)根据微分方程理论，求解(7)式，其解为：X(t)＝exp(Ht)X(0)+exp(Ht)∫₀^texp(‑Hζ)Fdζ     (8)＝exp(Ht)X(0)+∫₀^texp[H(t‑ζ)]Fdζ4)将(8)式进一步变换为：$X\left(t\right)=\exp \[H(t-t_j)\]X\left(t_j\right)+{\∫}_{t_j}^t\exp \[H(t-\mathrm{\ζ})\]Fd\mathrm{\ζ}---\left(9\right)$式中：t_j≤t≤t_j+1，t_j＝jτj＝0,1,2,…，τ表示时间步长；5)将非齐次项F在时间(t_j,t_j+1)内线性化，即将F表示为：F(t)＝r₀+r₁(t‑t_j)          (10)式中：r₀＝F(t_j)$r_1=\frac{\∂F}{\∂t_j}={\left(\begin{array}{cccccccc}0& \mathrm{...}& 0& -\frac{1}{C\mathrm{\Δ}x}\frac{\∂i_M}{\∂t_j}& \frac{1}{L\mathrm{\Δ}x}\frac{\∂v_0}{\∂t_j}& 0& \mathrm{...}& 0\end{array}\right)}^T$$\frac{\∂i_M}{\∂t_j}=\frac{\∂F_2}{\∂v_M}\·\frac{\∂v_M}{\∂t_j}\≈\frac{\∂F_2}{\∂v_M}\·\frac{v_M\left(t_j\right)-v_M\left(t_{j+1}\right)}{\mathrm{\τ}}$$\frac{\∂v_0}{\∂t_j}=\frac{\∂F_1}{\∂i_0}\·\frac{\∂i_0}{\∂t_j}+\frac{\∂F_1}{\∂v_s}\·\frac{\∂v_s}{\∂t_j}\≈\frac{\∂F_1}{\∂i_0}\·\frac{i_0\left(t_j\right)-i_0\left(t_{j+1}\right)}{\mathrm{\τ}}+\frac{\∂F_1}{\∂v_s}\·\frac{\∂v_s}{\∂t_j}$6)将(10)式代入(9)式，得：7)由(11)式得到t＝t_j+1＝t_j+τ时的表达式：X^j+1＝T[X^j+H^‑1(r₀+H^‑1r₁)]‑H^‑1(r₀+H^‑1r₁+r₁τ)      (12)式中：T＝exp(Hτ)8)求解T阵，即可获得非均匀传输线方程的时域解。