[发明专利]一种变分PDE图像保边保结构复原方法

摘要

本发明公开了一种变分PDE图像保边保结构复原方法，在模型中引入结构特征检测函数来惩罚模型中的不同泛函空间，从而使模型具有自适应性，进而得到高质的复原图像。在模型算法实现的过程中，我们首先将问题转化为易求解的多个子问题，并采用周期差分的格式，从而数值模型具有可以利用快速傅里叶变化的特性，进而可以高效稳定的求解。本发明中的软件包侧重于将模型转化为可快速求解的子问题，由于子问题具有可分性，且采用循环差分格式可利用快速傅里叶变换，因此可以高效稳定地求解且具有可并行性。

主权项

一种变分PDE图像保边保结构复原方法，包括以下步骤：(1)输入一幅大小为N×N的退化图像f(x,y)，令f(i,j)表示图像在第i行第j列的像素值，利用Matlab中的diff函数定义函数g(x,y)的梯度算子和海森算子▿2g=(▿xxg,▿xyg;▿yxg,▿yyg)T:]]>▿xg=[diff(g,1,2),g(:,1)-g(:,N)];]]>▿yg=[diff(g,1,1);g(1,:)-g(m,:)];]]>▿xxg=[▿xg(:,1)-▿xg(:,N);diff(▿xg,1,2)];]]>▿yyg=[▿yg(1,:)-▿yg(N,:);diff(▿yg,1,1)];]]>▿xyg=[diff(▿xg,1,1);▿xg(1,:)-▿xg(N,:)].]]>选取初始值u0＝f,w0＝0,v0＝0,z0＝0,α0＝0,β0＝0,λ0＝0；(2)求解离散化模型其中|▿u|l1=Σi=1NΣj=1N|▿ui,j|=Σi=1NΣj=1N(▿xui,j)2+(▿yui,j)2,]]>|▿2u|l1=Σi=1NΣj=1N|▿2ui,j|=Σi=1NΣj=1N(▿xxui,j)2+(▿xyui,j)2+(▿yxui,j)2+(▿yyui,j)2;]]>即引入约束条件w=u,v=▿u,z=▿2u;]]>将其转化为下面极大极小的鞍点问题其中这里α,β,λ分别为对应的拉格朗日乘子，c1,c2,c3分别为对应的正的罚参数，为示性函数，即则否则，(3)极大极小的鞍点问题中耦合了七个变量，在算法中应用Gauss‑Seidl迭代格式，求解子问题uk+1，即考虑由于wk,vk,zk,αk,βk,λk可看做常变量，因此舍弃与u无关的变量便有求出其对应的显式解，即对应的Euler‑Lagrangian方程为其中div2为的伴随矩阵，由(1)中选取的为循环边界差分格式，同时利用散度定理中的和因此可以利用快速傅里叶变换求解uk+1，即为：其中表示快速傅里叶变换，表示快速傅里叶变换的逆变换；上述算子具体实现在程序中定义为：conjoI＝conj(psf2otf([1,0],[N,N]))；conjoDx＝conj(psf2otf([1,‑1],[N,N]))；conjoDy＝conj(psf2otf([1；‑1],[N,N]))；conjoDxx＝conj(psf2otf([1,‑2,1],[N,N]))；conjoDyy＝conj(psf2otf([1；‑2；1],[N,N]))；conjoDxy＝conj(psf2otf([1,‑1；‑1,1],[N,N]))；otfH＝psf2otf(K,[N,N])；求解子问题wk+1，即考虑舍去与w无关项，则对应的子问题为wk+1=argminw<α,w>l2c12||w-uk+1||l22+δC(w).]]>该问题用投影梯度法快速求解，因此有求解子问题vk+1，即考虑舍去与v无关项，则对应的子问题为vk+1=argminvc22||v-(▿uk+1-βkc2)||l22+b|v|l1.]]>该问题对应经典的压缩阈值问题，因此其显式解为vk+1=▿uk+1-βkc2|▿uk+1-βkc2|l1max{|▿uk+1βkc2|l1-bc2,0}]]>求解子问题zk+1，由于子问题z与v具有类似的形式，因此同样可写成其对应的显式解为zk+1=▿2uk+1-λkc3|▿2uk+1-λkc3|l1max{|▿2uk+1-λkc3|l1-1-bc3,0}]]>由于拉格朗日乘子对应的问题是平凡的，因此其更新变量即为αk+1＝αk+c1(wk+1‑uk+1)；βk+1=βk+c2(vk+1-▿uk+1);]]>λk+1=λk+c3(zk+1-▿2uk+1);]]>终止标准，由交替方向乘子法的收敛性定理可知，当收敛到零时，算法的解收敛到初始问题的解，因此在算法中选取终止标准定为当算法终止时，输出复原图像u:＝uk+1。