[发明专利]基于最优结构化虚拟域张量填充的超分辨互质面阵空间谱估计方法

权利要求书

1.一种基于最优结构化虚拟域张量填充的超分辨互质面阵空间谱估计方法，其特征在于，包含以下步骤：

(1)接收端使用4M_xM_y+N_xN_y-1个物理天线阵元，按照互质面阵的结构进行架构；其中，M_x、N_x以及M_y、N_y分别为一对互质整数；该互质面阵分解为两个稀疏均匀子面阵和其中包含2M_x×2M_y个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为N_xd和N_yd，包含N_x×N_y个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为M_xd和M_yd，单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；

假设有K个来自方向的远场窄带非相关信号源，θk和分别为第k个入射信号源的方位角和俯仰角，k＝1，2，…，K，则稀疏均匀子面阵的T个采样快拍信号用一个三维张量表示为：

其中，s_k＝[s_k，1，s_k，2，...，s_k，T]^T为对应第k个入射信号源的多快拍采样信号波形，[·]^T表示转置操作，表示矢量外积，为与各信号源相互独立的噪声张量，和分别为在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为的信号源，表示为：

其中，和分别表示稀疏均匀子面阵在x轴和y轴方向上物理天线阵元的实际位置，且

稀疏均匀子面阵的接收信号用另一个三维张量表示：

其中，为与各信号源相互独立的噪声张量，和分别为在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为的信号源，表示为：

其中，和分别表示稀疏均匀子面阵在x轴和y轴方向上物理天线阵元的实际位置，且

(2)通过求张量和的互相关统计量，得到二阶互相关张量

其中，表示第k个入射信号源的功率，表示互相关噪声张量，·，·_r表示两个张量沿着第r维度的张量缩并操作，E[·]表示取数学期望操作，(·)^*表示共轭操作；定义两个维度集合和通过对互相关张量进行维度合并，得到一个虚拟域信号

其中，和分别等价为一个非连续虚拟面阵在x轴和y轴上的导引矢量，对应于来波方向为的信号源，表示Kronecker积；非连续虚拟面阵的大小为其中包含了整行和整列的孔洞，

(3)构建非连续虚拟面阵关于坐标轴镜像的虚拟面阵并将和在第三维度上叠加成一个大小为的三维非连续虚拟立方阵列这里，且将虚拟域信号的共轭转置信号中的元素进行重新排列，以对应中各虚拟阵元的位置，得到对应于虚拟面阵的虚拟域信号将和在第三维度上进行叠加，得到对应非连续虚拟立方阵列的虚拟域张量表示为：

其中，和分别为非连续虚拟立方阵列在x轴和y轴上的导引矢量，对应于来波方向为的信号源，且和分别对应中x轴和y轴方向上孔洞位置的元素置为零，

表示对应于和的镜像变换因子矢量；由于非连续虚拟面阵中包含了整行和整列的孔洞，由和其镜像部分叠加得到的非连续虚拟立方阵列中包含了成片的缺失元素，即孔洞，故对应的虚拟域张量包含了成片的零元素；

(4)通过一个大小为P_s×P_y×2的平移窗口截取虚拟域张量的一个虚拟域子张量中包含了三个维度上索引分别为(1：P_x-1)，(1：P_y-1)，(1∶2)的元素；随后，将平移窗口分别沿x轴和y轴方向依次平移一个元素，将分割成L_x×L_y个虚拟域子张量，表示为s_x＝1，2，...，L_x，s_y＝1，2，...，L_y；该平移窗口大小的取值范围为：

且L_x、L_y、P_x、P_y之间满足以下关系：

将具有相同s_y索引下标的虚拟域子张量在第四维度进行叠加，得到L_y个维度为P_x×P_y×2×L_x的四维张量；进一步地，将这L_y个四维张量在第五维度叠加，得到一个五维虚拟域张量这个五维虚拟域张量涵盖了x轴和y轴方向空间角度信息、空间镜像变换信息以及x轴和y轴方向的空间平移信息；定义维度集合则对进行维度合并的虚拟域张量变换，得到三维的结构化虚拟域张量

的三个维度分别表征空间角度信息、空间平移信息以及空间镜像变换信息；由此，虚拟域张量中的成片缺失元素被随机地分布到结构化虚拟域张量所涵盖的三个空间维度上；

(5)由于结构化虚拟域张量中零元素的分散程度和占比与张量填充的效果息息相关，为了确保中零元素分散程度最大且占比最小，需对虚拟域子张量的维度大小进行优化，即对(P_x，P_y)的值进行优化选取，从而得到最优的结构化虚拟域张量，具体过程为：根据每一个取值组合(P_x，P_y)，计算所对应结构化虚拟域张量中所有零元素两两之间的欧几里得距离之和：

其中，Ω表示中零元素的位置索引集合，和表示集合Ω内任意两个位置的坐标，这里，z₁，z₂＝1，2，...，表示中零元素的总数量；结构化虚拟域张量中零元素的分散程度由参数ψ确定；对应地，结构化虚拟域张量中的零元素占比表示为：

综合考虑最大化结构化虚拟域张量中零元素的分散程度，并最小化零元素占比虚拟域子张量的维度优化问题表示为：

遍历P_x和P_y取值范围和内的所有取值，每一组(P_x，P_y)取值都对应得到目标函数值选取目标函数最大值所对应的一组(P_x，P_y)取值，即为最优化的虚拟域子张量维度大小；

(6)设计一个基于交替方向乘子法的结构化虚拟域张量填充优化问题：

其中，优化变量是填充后的结构化虚拟域张量，对应虚拟均匀立方阵列表示沿着第b维度展开的矩阵，α_b为核范数权重常数，需满足α₁+α₂+α₃＝1，||·||_*表示核范数，为了确保的三个矩阵核范数能被独立优化，在该问题中引入了的三个辅助张量表示中非零元素的位置索引集合，表示张量在上的映射，表示零张量；引入的对偶变量则上述优化问题的拉格朗日函数表示为：

其中，ρ＞0表示补偿因子，[·×·]表示张量内积，||·||_F表示Frobenius范数；通过最小化拉格朗日函数迭代求解目标变量得到填充后的结构化虚拟域张量

(7)填充后的结构化虚拟域张量理论上建模为：

其中，为的空间因子，

分别表示虚拟均匀立方阵列沿着x轴和y轴方向的导引矢量，

分别为平移窗口截取虚拟域子张量过程中对应于x轴和y轴方向的空间平移因子矢量；对填充后的结构化虚拟域张量进行canonical polyadic分解，得到三个因子矢量p(μ_k，v_k)，q(μ_k，v_k)和c(μ_k，v_k)的估计值，表示为和构造结构化虚拟域张量信号子空间

其中，orth(·)表示矩阵正交化操作；用表示噪声子空间，通过V_s得到：

其中，I表示单位矩阵，(·)^H表示共轭转置操作；

遍历二维波达方向θ和分别为在[-90°，90°]和[0°，180°]取值范围内遍历的方位角和俯仰角，计算对应的参数并构造对应虚拟均匀立方阵列的导引矢量表示为：

得到对应二维波达方向的空间谱为：