[发明专利]一种用于气动软体机器人快速模拟的模型降阶方法

权利要求书

1.一种用于气动软体机器人快速模拟的模型降阶方法，其特征在于，首先根据已有的气动机器人模型，通过剖分网格、建立应变能约束构建其动力学方程；其次，基于动力学方程，根据初始状态计算线性模态以及模态导数，并由此构建非线性模态；再次，根据非线性模态建立转换矩阵，对动力学方程进行降阶；最后，通过数值积分方法，求解气动机器人变形；包括以下步骤：

第一步：建立气动机器人基于位置动力学方法的动力学方程

基于位置动力学方法通过建立各种约束建立节点之间的关系，动力学方程由n个节点和Q个约束组成：

其中，f_int＝▽_uE(u)代表系统内力，是内能E对位移u的梯度；能量函数E(u)＝1/2C(u)^Tα^-1C(u)则由约束函数C＝[C₁(u)C₂(u)...C_Q(u)]^T构成；α是对角柔度阵，即刚度阵逆矩阵；u＝[u₁u₂...u_n]^T是节点位移列向量,是节点加速度，M是对角矩阵,f_ext是外力的列向量；

在位置动力学方法基础上采用连续介质力学中的StVD超弹性材料构建内能从而建立应变约束，引入实际工程物理量，实现对模型定性和定量的分析；引入的应变约束表示如下：

其中，V是初始构型下四面体单元的体积；λ和μ是拉梅常数，它们均由材料的弹性模量和泊松比决定；E是系统内能；刚度阵K_c与基于位置动力学方程中的α^-1等效，属于单元刚度阵；约束C＝[ε_xxε_yyε_zzε_xyε_xzε_xy]^T由应变ε组成；

对基于位置动力学方法构建的动力学方程进行降阶，在保证精度的同时，提升计算效率，可以实现实时计算；

第二步：建立气动机器人模型降阶动力学方程

在降阶模型中，位移向量u可以表示为u＝Uq，其中是全局位移空间下r维子空间的基矩阵，不随时间发生变化，为广义坐标向量；对于U，选择一组正交基，使得U^TMU＝I_r,其中为单位矩阵；将u＝Uq带入公式(1)，并左乘U^T，得到降阶动力学方程，它的变量是q，但也同时描述全局变形u(t)＝Uq(t)；

其中，分别是降阶后的内力和外力：

f_ext(q)＝U^Tf_ext(Uq)     (5)

同样的，整个降阶系统的刚度阵表示为：

对于StVK材料，它的应变能函数由格林应变构成，因此应变能可以表达为位移变量u的四阶多元多项式函数；内力f_int(u)作为应变能对于位移变量u的导数，每一个节点的内力都可以表示为一个三阶多元多项式函数；因此，降阶后的内力中的每一项都是关于q的三次多项式：

其中，Pⁱ，Q^ij，S^ijk属于常向量系数；降阶后的刚度阵作为的雅可比矩阵，它的每一项都是关于q的二次多项式，的第l列可以表示为：

在材料参数和降阶矩阵U确定后多项式系数Pⁱ，Q^ij，S^ijk可以离线计算；

第三步：计算降阶矩阵U

利用一组线性模态组成降阶矩阵实现模态截断，为了获得适合非线性系统的降阶基，采用多体动力学领域中应用的模态导数方法形成非线性模态，利用非线性模态组成的降阶基从而描述气动软体机器人系统变形；

(a)线性模态求解

对于公式(1)，对应的对称线性特征值问题表示为：

其中，ω_i是固有频率，Ф_i是第i阶模态，Ф＝[Ф_i,…Ф_3n]是由模态组成的矩阵，是特征值，Λ＝diag([λ₁,…λ_3n])是特征值矩阵，特征值按照从小到大排序，即：λ₁λ₂…λ_3n；模态归一化：

因此固有模态为空间的一组正交基，所以对于位移u可以表示为u＝Фq，q被称为广义坐标；

外力与广义坐标q之间的关系为：

f_ext＝MΦΛq    (11)

对于瞬态问题，基本方程为：

在简谐波外力f_ext(t)＝f_extcos(ωt)作用下，位移表示为u(t)＝ucos(ωt)；当u＝Фq时，把公式(10)带入动力学方程公式(12)，即可得：

-ω²Iq+Λq＝Φ^Tf_ext＝Λp    (13)

所以：

在实际工程中，外部荷载处于低频，因此可将模态截断为低阶模态，即取前r阶模态组成降阶矩阵；

(b)非线性模态求解

对于大变形问题，对系统的位移u(q)近似取二阶麦克劳林展开：

公式(15)可进一步表示为：

由第二步可知，根据对应的线性模态的特征值来缩放模态导数：

模态导数缩放让低频模态和它们的导数具有更大的权重，防止它们可能被高频模态和模态导数掩盖；之后通过对A进行奇异值分解得到非线性子空间U，其中U的第i列就是这个系统的第i阶非线性模态；把U带入第二步，对动力学系统进行Newmark积分就可得到气动机器人的变形。