[发明专利]基于五次埃尔米特形函数的柔性体结构高阶非线性有限元数值模拟方法

说明书

本发明公开了一种基于五次埃尔米特形函数的柔性体结构高阶非线性有限元数值模拟新方法，基于五次埃尔米特高阶插值理论，推导五次埃尔米特插值形函数及属性方程；确定柔性体结构单元和该柔性体结构单元需要求解的参数、物理模型、简化假设；建立柔性体结构单元在空间和时间的数学运动偏微分方程和沿着轴向的拉伸限制条件，即求解域内的数学模型；从而建立柔性体结构单元的系统方程并采用牛顿迭代法对参数进行迭代求解。有益效果：提高了细长柔性体结构的空间变形、转角和曲率的模拟精度；保证了曲率在有限元节点的连续性；快速收敛性，特别是对柔性体高阶振动频率预测精度更高；对处理横向大梯度载荷和柔性体大弯曲问题时，有更高的精度保障。

技术领域

本发明涉及柔性体(slender structures)模拟技术领域，具体的说是一种基于五次埃尔米特形函数的柔性体结构高阶非线性有限元数值模拟方法。

背景技术

截至到目前，国际上最常用的柔性体结构单元(如梁单元)的有限元方法，还依然是基于三次埃尔米特形函数(cubic Hermite shape functions)的有限元方法。该方法能只保证柔性体的空间形态(spatial configuration)和形态的一阶导数(即转角slopeangle)在有限元离散节点的连续性。

由于柔性体单元结构的空间形态被模拟分段成三次多项式函数，则其一阶导数是空间二次函数，即二次分布、二次导数是空间一次函数，即线性分布。该方法尽管已经能取得不错的数值模拟精度，但是存在一些固有的内在缺陷：该方法模拟出的结果只能保障空间柔性结构空间形态的一阶导函数在有限元节点的连续，但不能保障二阶导函数的连续性；并且不能针对曲率(curvature)为零的柔性体单元边界条件施加狄利克雷(Dirichlet)边界条件，导致物理模型和数值模型边界条件出现偏差(deviation)；当柔性体受到大梯度载荷时(即结构体内部弯矩和剪力分布发生较大突变时)，该算法很难精确捕捉到弯矩和剪力的极值位置和大小(position and magnitude of the critical bending moment andshear force)，需要非常细化的有限元单元才能去捕捉这些极值。

在设计柔性体结构的时候，经常需要精确知道柔性体固有自然振动频率，去避免结构在使用过程中可能遇到的主要外界激励载荷的自然频率区间，防止或者减小共振带来的负面影响。采用三次埃尔米特有限元方法很难把柔性体结构高阶振动的自然频率预测得很准，会存在较大误差，并且单元越粗误差会越大。

发明内容

针对上述传统方法存在的这些问题，本发明提出了一种基于五次埃尔米特形函数的柔性体结构高阶非线性有限元数值模拟方法。将五次埃尔米特形函数有限元方法引入到柔性体结构的计算机有限元数值模拟中，提高了细长柔性体结构的空间变形、转角和曲率的计算机数值模拟精度。

为达到上述目的，本发明采用的具体技术方案如下：

一种基于五次埃尔米特形函数的柔性体结构高阶非线性有限元数值模拟方法，其特征在于具体步骤为：

步骤一：基于五次埃尔米特(Quintic Hermite)高阶插值理论，在一维坐标系下推导五次埃尔米特插值形函数，其包括6个五次形函数具体为：

其中，x_a和x_b分别为空间有限元单元节点的起点坐标和终点坐标，一维总体坐标系x下的坐标区间范围为x∈[x_a,x_b]；局部坐标系下ξ的坐标区间范围为ξ∈[0,1]；

所述五次埃尔米特插值形函数的属性方程为：