[发明专利]一种基于动态盘B样条曲线的二维动态几何建模方法

权利要求书

1.一种基于动态盘B样条曲线的二维动态几何建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，使用表示盘B样条曲线的第i个控制盘，使用表示第i个控制盘的位置，使用和r(u)＝∑r_iN_i，p(u)分别表示骨架线上点的位置和沿骨架线方向半径变化的数学表达式，使用和表示骨架线曲线上随参数u变化的每一处的切向和法向，T_x和T_y分别表示T(u)的两个坐标分量，则盘B样条曲线表示为下式(1)：

上式(1)中，u为沿骨架线方向的参数，v为垂直于骨架线方向的参数，s(u，v)为盘B样条曲线区域中任意一点；

步骤2，使用表示盘B样条曲线在时刻t时的第i个控制盘，对于时刻t所有的控制盘，表示为下式(2)：

上式(2)中，p(t)是时间参数t的函数，在时刻t，一条盘B样条曲线由p(t)唯一确定；

步骤3，动态盘B样条曲线是盘B样条曲线在时间域上的推广，在盘B样条曲线的几何表达式中加入时间参数t后，给出动态盘B样条曲线的数学表达式为下式(3)：

步骤4，使用p_i(t)表示物理系统的广义坐标第i个分量，使用p(t)表示该物理系统的广义坐标，使用表示广义坐标关于时间参数t的导数，省略所有的时间参数t，得下式(4)：

步骤5，使用T、U和D分别表示系统的动能、势能和耗散能，使用f_i表示作用在第i个广义坐标p_i的广义外力，则拉格朗日函数式表示为下式(5)：

上式(5)中，T、U和D均为广义坐标p及其关于时间的导数的函数，f_i为时间t的函数；

步骤6，将步骤5中的式(5)表示为矩阵形式，则有下式(6)：

上式(6)中，其他项以此类推；

步骤7，对于一个动态盘B样条系统，使用μ(u，v)和M分别表示质量密度分布函数和质量矩阵，省略函数参数后，系统动能T、质量矩阵M(p)分别表示为下式(7)、(8)：

步骤8，使用γ(u，v)和D(p)分布表示阻尼密度分布函数和阻尼矩阵，省略函数参数后，耗散能D与阻尼矩阵D(p)分别表达为下式(9)、(10)：

步骤9，使用α(u，v)、β(u，v)和K(p)分布表示系统的局部张力函数、刚度函数和刚度矩阵：省略函数参数后，系统势能U与刚度矩阵K(p)分别表示为下式(11)、(12)：

上式(12)中，带有下标的矩阵J表示J关于参数u和v的偏导数；

步骤10，使用f(u，v，t)表示系统的外力分布函数，则系统广义外力f_p表示为下式(13)：

根据以上的推导，在动态盘B样条曲线系统中，拉格朗日函数式(5)进一步表示为下式(14)：

根据动态盘B样条曲线的数学性质，对式(14)进行简化，得到简化的动态盘B样条曲线运动方程式(15)：

上式(15)中，

步骤11，线性几何约束表示为下式(16)：

C(p)＝Ap+b＝0……(16)，

上式(16)中，p为系统的广义坐标；

步骤12，若系统存在M个独立的线形几何约束，且p包含N个分量，则A为一个M×N的矩阵，b为一个常向量，广义坐标p表示为下式(17)：

p＝Gq+q₀……(17)，

上式(17)中，G为一个M×(N-M)的矩阵，q₀是一个常向量，q表示该系统新的广义坐标，其分量个数为N-M，新的广义坐标q使用高斯消元法求得；

步骤13，根据上式(17)，得到带有线性约束的动态盘B样条曲线的运动方程式(18)：

上式(18)中：

并且，L＝JG为s关于q的雅克比矩阵；

步骤14，求解动态盘B样条曲线的运动方程，使用有限差分法对雅克比矩阵J的一、二阶偏导数讲行近似，得下式(19)：

步骤15，动态盘B样条曲线的运动方程式(15)为一个二阶偏微分方程，在通常情况下，式(15)没有解析解，为了求解动态盘B样条曲线的运动方程，与参数域上的有限差分法类似，在时间域上，使用差分对和进行近似，给定特定的物理参数，动态盘B样条曲线系统运动方程式(15)成为一个刚性系统，为保证计算的稳定性，需要使用隐式欧拉方式对时间积分进行近似求算，得到下式(20)：

步骤16，根据式(20)、动态盘B样条曲线的运动方程式(15)以及动态盘B样条曲线的数学式性质，推导出动态盘B样条曲线运动方程的离散化形式(21)：

式(21)中，没有上标说明的物理量取其在(t+Δt)时刻的值，为了对式(21)进一步简化，对于式(21)中的矩阵物理量，使用在时刻t的值对其在时刻(t+Δt)的值进行近似，如下式(22)：

步骤17，对于带有线性几何约束的动态盘B样条曲线的运动方程，能够推导出其对应的离散化形式的式(23)：