[发明专利]一种考虑混合不确定性的性能退化实验建模与分析方法

权利要求书

1.一种考虑混合不确定性的性能退化实验建模与分析方法，其特征在于，所述方法的建模分析对象为锂离子电池，所建立的模型为时间维度随机不确定性和样品、应力维度认知不确定性的随机不确定性能退化模型，即RUPDM-TUS，所述方法包括以下步骤：

第一步：考虑时间维度随机和样品、应力维度认知的确信可靠性建模；

由于考虑性能退化实验在时间维度的随机不确定性和样品、应力维度的认知不确定性，故产品的退化方程为：

其中，Y(s,t)表示产品的性能退化过程，s表示外因，为性能退化实验中的归一化应力，t为时间，Y₀表示产品的性能初值，是Y₀中表征内因不确定性的不确定性因子，X(s,t)表示产品的性能退化量函数，I_Y是一个示性函数，当性能随时间递增时，Y_Y＝1，当性能随时间递减时，I_Y＝-1，是表征性能退化速率且受内因和外因影响的函数，Z是内因，在实际性能退化实验中即产品内在属性，是表征Z的不确定性的不确定性因子，是表征认知性能随外因变化规律中的模型不确定性的不确定性因子，F₂(t)是时间的单调递增函数，是表征认知性能随时间退化规律中的模型不确定性的不确定性因子，F＝F₁*F₂；具体地，

首先，是表征性能退化速率且受内因和外因影响的函数，又称e(s)，统一表示为：

其中，α₀，a和b均为模型参数；

s为归一化应力，第l个归一化应力水平s_l为：

其中，S_l为第l个实际施加的应力水平；S_L和S_U分别为产品的工作应力水平下限和工作应力水平上限；

其次，F₂(t)＝Λ(t)＝t^β，Λ(t)为时间尺度转换函数，β为非线性系数，通常β0；

然后，不确定性因子表示对时间维度的随机不确定性，考虑到代表的是时间维度性能检测次数充足时的认知性能随时间退化规律中的随机不确定性，在概率论中采用维纳过程来描述在连续时空下随机不确定性随时间的动态变化过程，基于维纳过程构建

其中，W_t代表维纳过程，σ为扩散系数，此处为常数项；N_p表示正态概率分布，0为均值，t^β为方差；

再次，采用性能初值中的不确定性因子和性能退化过程中的不确定性因子表征样品维度的认知不确定性：

1)在性能初值方面，样品维度的不确定性直接体现在不同样品的性能初值不同上，通过赋予性能初值Y₀一个正态不确定分布来表征性能初值中体现样品维度不确定性的不确定性因子即其中，N_u表示正态不确定分布，和分别是Y₀的均值和标准差，记Y₀的不确定分布Φ(Y₀)为：

2)在性能退化过程方面，样品维度的不确定性体现在表征性能与应力关系且与产品内在属性相关的上，即公式(2)，通过赋予与材料密切相关的参数a一个正态不确定分布来表征性能退化过程中体现样品维度不确定性的不确定性因子即a～N_u(μ_a,σ_a),μ_a0,σ_a0，其中，μ_a和σ_a分别是参数a的均值和标准差，记a的不确定分布为：

最后，基于不确定理论，采用一个与应力有关且服从正态不确定分布的不确定项来表征应力样品维度认知不确定性的不确定性因子即

其中，σ_s为常数项，ξ_s是变量项，参数与应力水平有关，在第l个应力水平下有记ξ_s的不确定分布为：

由此，得到RUPDM-TUS中的性能退化速率模型为：

在给定s时，RUPDM-TUS的性能退化速率模型e(s)服从正态不确定分布：

根据上述分析，RUPDM-TUS中产品的性能退化量函数为：

其中，X(s,t)是产品的性能退化量，由于公式(11)中即含有随机变量，又含有不确定变量，因此将X(s,t)看作一个随机不确定过程，所服从分布函数为机会分布；

令为机会空间，其中是概率空间，是不确定空间，在给定s和t时，对不确定空间的非空集Γ的任意元素γ，X(s,t|γ)是一个随机变量，其概率分布函数F(x|γ)为：

其中，为标准的正态概率分布函数；

对所有的γ，公式(12)中的F(x|γ)是一个从不确定空间到实数集[0,1]的函数，是一个不确定变量，根据随机不确定变量的机会测度和机会分布的定义，公式(11)中X(s,t)的机会分布Φ^(ch)(x)是该不确定变量的期望，即：

其中，Φ^(ch)表示机会分布，Ch表示机会测度，E[·]代表F(x|γ)的期望，Pr为概率测度；

RUPDM-TUS的性能退化增量ΔX(s,t)的机会分布为：

Φ^(ch)(Δx)＝Ch{ΔX(s,t)≤Δx}＝E[F(Δx|γ)] (14)

其中，Δx是性能退化增量，F(Δx|γ)是在给定s和Δt时，对不确定空间的非空集Γ的任意元素γ，随机变量ΔX(s,t)是X(s,t)的独立增量，ΔX(s,t)服从的概率分布函数，对所有的γ，F(Δx|γ)是一个不确定变量；

得到RUPDM-TUS中的产品性能的退化方程：

其中，Y(s,t)是产品的性能退化过程，在给定s时，是一个随机不确定过程；

当产品的性能临界值Y_th已知时，得到产品性能的裕量方程：

其中，M(s,t)是产品的性能裕量，在给定s时，是一个随机不确定过程；

在RUPDM-TUS中，可靠度R表述为性能裕量大于0的机会，采用机会测度来度量，得到RUPDM-TUS的度量方程：

R(s,t)＝Ch{M(s,t)0}＝1-Υ(s,t)                     (17)

其中，Ch是机会测度，R(s,t)是产品的可靠度，Υ(s,t)是RUPDM-TUS的不可靠度函数；

在机会理论中，Υ(s,t)代表公式(16)所示随机不确定过程M(s,t)首次穿越给定临界值0的时刻t_c所服从的机会分布，在给定s时，对不确定空间的非空集Γ的任意元素γ，t_c(γ)是一个随机变量，得到t_c(γ)的概率分布函数Υ(s,t|γ)为：

其中，I_Y是一个示性函数，当性能随时间递增时，I_Y＝1，当性能随时间递减时，I_Y＝-1；

对所有的γ，公式(18)中的Υ(s,t|γ)看作是一个从不确定空间到实数集[0,1]的函数，是一个不确定变量，而RUPDM-TUS的不可靠度函数Υ(s,t)的机会分布Φ^(ch)(x)看作是该不确定变量的期望，即：

表示不确定测度，根据公式(17)和公式(19)，得到RUPDM-TUS的度量方程：

R(s,t)＝1-E[γ(s,t|γ)]                          (20)

根据确信可靠性理论，得到RUPDM-TUS中的确信可靠寿命：

其中，α是信度，T(α)是确信可靠寿命；R(·)是公式(20)所示的度量方程；

考虑到RUPDM-TUS的度量方程R(s,t)比较复杂，无法直接给出其机会分布的解析式，采用仿真的方法来近似获取R(s,t)的机会分布，具体为：

(1)在给定应力水平s和时间t的情况下，采用不确定仿真的方法获得不确定变量Υ(s,t|γ)的不确定分布；

(2)根据公式(19)计算获得的Υ(s，t|γ)的期望，得到在给定应力水平s和时刻t下的RUPDM-TUS的不可靠度函数Υ(s,t)的机会测度；

(3)根据公式(20)得到RUPDM-TUS的度量方程R(s,t)的机会测度；

(4)取不同的时间t，重复(1)–(3)，得到给定性能临界值和应力水平下的度量方程的数值解；

第二步：随机不确定统计分析方法；

在RUPDM-TUS中，未知参数向量为其中，除以外的其他未知参数均大于0，既含有表征随机不确定性的参数，也含有表征认知不确定性的参数，采用分步估计的方法，将θ分为四部分进行估计：(1)估计性能初值的参数估计非线性系数θ₂＝β以及各应力水平下各样品的性能退化速率e_li，(3)估计性能退化速率模型参数θ₃＝(μ_a,σ_a,b,σ_s)，(4)估计θ₄＝σ；

首先，给出性能退化实验的实验设置：

设x_lij表示第l个应力水平S_l下，第i个样品的第j个性能检测值，t_lij是对应的性能检测时间点，l＝1,2,…,k，i＝1,2,…，n_l，j＝1,2,…,m_li；其中，k代表实验施加的应力水平数；n_l代表S_l下的实验样品数量；m_li代表S_l下第i个样品的性能检测次数，当应力施加的方式为恒定应力时，总实验样品数量为总性能检测次数为当应力施加的方式为步进应力时，总实验样品数量为n＝n₁＝…＝n_l，总性能检测次数为设为不重合的转化时间间隔，Δx_lij是ΔΛ_lij内的性能退化增量，有Δx_lij＝I_Y×(x_li(j+1)-x_lij)；

具体的，锂离子电池的实验设置为：应力施加方式为步进应力，性能检测类型为电池容量，应力类型为放电速率，应力水平为3个，分别为2.3，3.151，5，每个应力水平下的样品数量均为3，在应力水平2.3时性能检测次数为100次，在应力水平3.151时性能检测次数为67次，在应力水平5时性能检测次数为33次；

RUPDM-TUS在恒定应力下的随机不确定统计分析步骤为：

步骤1：估计θ₁；

1)计算各应力水平下的数据权重；

首先要根据研究目标不同，确定不同实验应力水平下的性能退化实验数据在参数估计过程中的重要程度，赋予其相应的权重，赋予权重的原则是越接近研究所关注的应力水平则其权重越大；

记第l个实验应力水平下的性能退化实验数据的权重为W_l，计算方法为：

a)当研究目标是探究产品性能在应力作用下随时间的退化规律并量化其不确定性时，则应力水平下的数据权重相同，即W₁＝…＝W_l＝…＝1/k；

b)当研究目标是关注某一具体应力水平下的性能退化规律并量化其不确定性时，数据权重同归一化后的实验应力和目标应力的距离呈反比；

I.当性能退化实验中施加的应力水平不包含目标应力水平时，则有：

其中，s₀和s_l分别表示目标应力水平S₀和第l个实验应力水平S_l的归一化取值，其计算见公式(3)；

II.当性能退化实验中施加的应力水平包含目标应力水平时，则有：

其中，将目标应力水平s₀记为s₁；

计算得到不同实验应力水平下锂离子电池的数据权重为：应力水平为2.3、3.151、5时，数据权重分别为0.4458、0.3235、0.2307；

2)构建性能初值与信度间关系；

根据公式(5)可知性能初值Y₀是一个正态不确定变量，而实验中所有样品的性能初值y_0h，h＝1,2,…,H，均是Y₀的观测值，令y_0h＝x_li1，l＝1,2,…,k,i＝1,2,…,n_l，且

将所有性能初值y_0h按升序排列，并获取每个y_0h对应的信度α_h：

α_h＝h/(H+1),A＝0,B＝0                   (24)

α_h＝(h-0.5)/H,A＝-0.5,B＝-0.5               (25)

α_h＝(h-0.3)/(H+0.4),A＝-0.3,B＝-0.3             (26)

α_h＝(h-0.5)/(H+0.25),A＝-0.5,B＝-0.375          (27)

3)基于加权最小二乘，估计θ_1p；

在获得数据权重W_l，性能初值数据y_0h及信度α_h后，采用加权最小二乘的方法，最小化RUPDM-TUS中性能初值所服从不确定分布与信度之差平方的加权和：

其中，p代表采用第p个获取性能初值信度的公式；Q_1p代表第p个目标函数；代表采用第p个信度公式得到的θ₁的估计结果；

4)获得θ₁的最终估计结果；

将公式(28)中的Q_1p看作θ_1p的函数，记为Q_1p(θ_1p)，则θ₁的最终估计结果为：

θ_1final＝argmin{Q_1p(θ_1p)}          (29)

其中，θ_1final是的最终估计结果；argmin{Q_1p(θ_1p)}代表当Q_1p取最小值时对应的θ_1p，p＝1,2,3,4；

依据以上方法得到锂离子电池的θ₁估计结果为

步骤2：估计θ₂和e_li；

1)初步估计；

首先，针对在第l个应力水平(S_l)下的第i个样品的所有性能退化实验数据x_lij进行初步拟合，l＝1,2,…,k，i＝1,2,…,n_l，

其中，Y_0li是S_l下第i个样品的性能初值，记Y_0li＝x_li1；e_li是S_l下第i个样品的性能退化速率；β_li是S_l下第i个样品的非线性系数，将根据公式(30)得到的各应力水平下各样品下的性能退化速率和非线性系数的初步估计分别记为e′_li和β′_li；

基于获得的β′_li和数据权重W_l，对非线性系数β进行初步估计：

其中，β′为β的初步估计结果；

2)处理异常值；

根据β′对性能检测时间进行转化，记转化时间对S_l下的第i个样品，通过对起始退化数据点(Λ(t_li1),x_li1)和剩余每个退化数据点(Λ(t_lij),x_lij)进行线性拟合：

得到一系列斜率数据，记为slp_li(j-1)；

采用基于概率论的方法来进行异常值检测，若根据公式(32)得到的slp_li(j-1)满足公式(33)，则其对应的数据点(Λ(t_lij),x_lij)为异常数据点：

其中，和FD_li分别是S_l下第i个样品的所有slp_li(j-1)的中位数和四分位点，k_L和k_U是与数据所服从的概率分布类型相关的已知参数：若服从均匀概率分布，则k_L＝k_U＝1；若服从正态概率分布，则k_L＝k_U＝2；若服从指数概率分布，则k_L＝4.3，k_U＝1＝0.7；采用AIC标准选择最适合的概率分布类型：

AIC＝-2×M₁+2×M₂              (34)

其中，M₁是最大对数似然值；M₂是独立的分布参数的数量，对均匀概率分布和正态概率分布，M₂＝2；对指数概率分布，M₂＝1；AIC越小，则表示数据越符合该种概率分布；

采用如下公式进行异常数据处理：

得到处理后的性能退化实验数据

3)获得θ₂和e_li的最终估计结果；

基于处理后的性能退化实验数据采用公式(30)进行拟合，得到e_li和β_li的最终估计结果，记为e″_li和β″_li；将公式(31)中的β′_li替换为β″_li，得到β的最终估计结果，记为β″；

依据以上方法得到锂离子电池的θ₂和e_li估计结果；

步骤3：估计θ₃；

1)构建性能退化速率与信度间关系；

a)基于公式(9)和公式(10)可知，RUPRDM-TUS在S_l下的性能退化速率变量e(s_l)是服从正态不确定分布的不确定变量，而步骤2获得的e″_l1,…,e″_l2,…,i＝1,2,…,n_l皆可看作e(s_l)的观测值；

b)将步骤2得到的S_l下的所有e″_li按升序排列；

c)获取e″_li的对应信度α″_li：

α”_li＝i/(n_l+1),A＝0,B＝0             (36)

α”_li＝(i-0.5)/n_l,A＝-0.5,B＝-0.5             (37)

α”_li＝(i-0.3)/(n_l+0.4),A＝-0.3,B＝-0.3                  (38)

α”_li＝(i-0.5)/(n_l+0.25),A＝-0.5,B＝-0.375                (39)

2)基于加权最小二乘，估计θ_3p；

基于数据权重W_l，e″_li及其信度α″_li，采用加权最小二乘的方法进行参数估计，最小化e″_li所服从的正态不确定分布与信度之差的平方的加权和：

其中，p代表采用第p个获取性能退化速率信度的公式；Q_3p代表第p个目标函数；θ_3p＝(μ_ap,σ_ap,b_p,σ_sp)代表采用第p个公式得到的RUPDM-TUS的参数向量θ₃的估计结果；

3)获得θ₃的最终估计结果；

采用如下公式获得θ₃的最终估计结果：

θ_3final＝argmin{Q_3p(θ_3p)},p＝1,2,3,4                    (41)

其中，θ_3final代表θ₃的最终估计结果；argmin{Q_3p(θ_3p)}代表当Q_3p取最小值时的θ_3p；

依据以上方法得到锂离子电池的θ₃估计结果；

步骤4：估计θ₄；

根据上述θ₁-θ₃的估计结果，得到不确定变量e(s_l)的不确定分布函数，进而得到期望E[e(s_l)]，将E[e(s_l)]和β″带入如下对数似然函数中：

其中，基于公式(42)进行极大似然估计，得到σ的估计结果；

依据以上方法得到锂离子电池的θ₄估计结果；

步骤5：建立锂离子电池容量的退化方程：

在公式(43)中，锂离子电池容量退化的自变量为放电速率s和时间t，其中，放电速率s的取值范围为[0.5C,10C]，而时间t的取值范围为[0,+∞]；

建立锂离子电池容量在放电速率作用下随时间的退化规律：

F(s,t)＝3.028×10^-5×e^8.583s×t (44)

建立锂离子电池容量的裕量方程：

建立锂离子电池的度量方程，根据度量方程数值解和公式(21)得到锂离子电池容量在25℃下的确信可靠寿命。