[发明专利]基于三周期极小曲面的三维多孔散热结构的设计与优化方法

权利要求书

1.一种基于三周期极小曲面的三维多孔散热结构的设计与优化方法，其特征在于，步骤如下：

(一)多孔结构表示方法

三周期极小曲面都具有隐函数表示，P极小曲面的隐函数表示如下：

其中，r为三维向量，x,y,z分别为其对应坐标；

周期参数函数P(r)0直接加入到三周期极小曲面的函数表示中，为了使周期变化过程中有向距离场的距离尺度不变，改进隐函数，表示为：

其中，P(r)控制了孔洞周期的连续变化，构造在空间上具有光滑过渡的多孔曲面；

基于三周期极小曲面的有厚度的多孔结构通过控制壁厚的参数函数W(r)，对上述改进的隐函数曲面向两侧偏移后得到两个偏移曲面，表示为：

最终由交算子连续函数表示基于三周期极小曲面的多孔鞘状结构：

引入控制周期的参数函数P(r)0和控制壁厚的参数函数W(r)0来实现对多孔结构的形状和周期孔洞的控制，并且通过优化参数函数P(r)和W(r)最终生成满足需求的有壁厚的多孔结构；

(二)散热问题优化过程

稳态热传导情况下的散热问题，给定模型热源及边界条件后，利用所述多孔鞘状结构来填充模型内部空间，在给定材料体积约束和周期函数梯度约束情况下，求解多孔结构周期和壁厚的优化分布；

(1)问题模型建立

散热问题模型建立如下：

使得：

其中，C是散热弱度，T是温度场，Ω是给定设计区域，Φ是前面给出的多孔鞘状结构的函数表示，Q是内热源的热流密度，q_s是Neumann边界Γ_Q上沿法线方向的热通量，是Direchlet边界上的给定温度，λ是导热系数；是向量微分算子，X、Y、Z分别表示沿着x、y、z三个坐标轴正方向的单位向量；是对应的测试函数，Sob¹是一阶索勃列夫空间，V是多孔结构的体积，是对应的体积约束，为了避免周期函数的剧烈变化破坏多孔结构，加入了周期变化的梯度约束并且有梯度的模的计算公式H(x)是Heaviside函数，当x为负时，H(x)＝0，否则为1，为了使优化问题可微并且避免棋盘格现象，将H(x)定义为连续函数H_η(x)，函数定义为：

其中η是正则化参数，用于控制全局刚度矩阵中非零元素的数量，取参数η＝10^-3定义中间值的区间；此外，多孔结构的材料导热系数λ是由结构函数Φ计算得到的，设置为：ξ＝H(Φ)是固体材料的体积比，λ_S和λ_D分别表示固体材料和孔洞部分的导热系数；

(2)离散化

离散化过程中将求解区域细分成两套精度不同的均匀网格：用粗网格去插值温度场，用细网格去描述模型和进行积分计算；粗单元的数量为n_s，每个粗单元中的细单元的数量n_b默认设置为27；得到优化问题(1.6-1.9)的离散形式：

使得：

KT＝Q(1.12)

其中，T是温度场，Q是热源和热通量项，K是刚度矩阵，V是多孔结构的体积，是对应的体积约束，N_b＝n_b×n_s是细单元的总数，是第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值，v_b是细网格单元的体积，G是结构的全局梯度约束，||Ω||是Ω的体积，n_l是设计域中子区域的数量，是第i个子区域Ω_i内的细单元的个数，是周期函数在第s个细单元内第i点的梯度，是第i个子区域Ω_i内的局部梯度约束值，是第i个粗网格单元的体积，p0是全局梯度约束的惩罚因子，并且有：

(3)全局-局部插值

采用全局-局部的径向基插值算法，将周期参数函数和厚度参数函数的优化转化为有限数量的设计变量的优化，其关键思想是将大型系数矩阵分解成加权的小型系数矩阵求解；

周期参数函数，首先将Ω分割成n_l个子区域在包含相应的子区域的局部椭球体中径向基插值得到局部周期参数函数：

其中，ψ_k(r)是由ω_k(r)定义的权重参数，d_k(r)＝||r-C_k||₂是插值点到椭球体中心点C_k的距离，(*)₊是截断函数满足x0时(x)₊＝x,否则(x)₊＝0,R_k(r)是关于半径的长度函数，P_k(r)是子区域Ω_k对应的局部椭球体内的局部周期参数函数，并定义为：

其中，R_ki(r)＝(r-O_ki)²log(|r-O_ki|)是薄板径向基函数，是子区域Ω_k对应的局部椭球体内的控制点，q_ki(r)是坐标x、y、z的一次项，a_ki和b_kj分别是二次项和一次项的待求系数，m是一次项的个数，m＝4；

全局-局部径向基插值被简化为如下形式：

其中,n_t是设计域Ω内控制点的总数，取值400，N_i(r)是相应的系数函数，是控制点的周期函数值；

(4)建模问题优化

基于上述构建的优化问题提出的三维散热优化方法包括周期优化和壁厚优化两部分；基于三周期极小曲面的多孔结构的周期和壁厚分别由周期函数P(r)和壁厚函数W(r)独立控制，周期优化是对结构的粗调整，壁厚优化是细调整，具体优化流程如下：

步骤1：周期优化；首先，利用径向基插值的方法将函数优化转化为插值基函数参数的优化；在求解域中随机选择n_t个插值基点则有插值形式：

周期优化问题转换为对参数变量的优化问题；最后，通过对目标函数和约束函数关于优化变量进行求导，如下：

其中，分别是目标函数、体积约束和梯度约束对参数变量P_i求偏导数的等式，是梯度求偏导数过程中要计算的中间等式；n_s是粗单元的数量，n_b是每个粗单元内细单元的数量；是第k个粗单元，第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值；由导热系数公式ξ_kj是第k个粗单元，第j个细单元内的导热系数λ_kj对应的参数因子ξ；K⁰是初始刚度矩阵；在MMA求解器中，通过获得周期平稳变化的优化多孔结构；

步骤2：壁厚优化；同理，基于W(r)的控制点，变量为采用径向基插值的方法构造壁厚函数W(r)，对应的敏感度分析如下：

其中，分别是目标函数、体积约束对参数变量W_i求偏导数的等式；是第k个粗单元，第j个细单元内的第l个结点的Φ函数值；ξ_kj是第k个粗单元，第j个细单元内的导热系数λ_kj对应的参数因子；由于壁厚变化比周期变化更平稳，因此不再需要W(r)的梯度约束；最后，在MMA求解器中选择和获得同时具有光滑周期和壁厚变化的优化多孔结构。