[发明专利]一种高精度PSPIKE+求解器

说明书

本发明涉及一种高精度PSPIKE+求解器，特别涉及双未知向量平衡系统的构建、耦合矩阵的引入以及平衡系统的迭代求解方法，属于高性能科学计算领域，在电磁场仿真、流体力学仿真、化学过程分析以及DNA电泳分析等方面均有应用。本发明采用双未知向量平衡系统代替PSPIKE+求解器中单未知向量平衡系统，以消除PSPIKE+求解器的系统误差；引入了耦合矩阵，以提高计算速度；采用迭代求解方法求解平衡系统，以降低内存占用。相较于原PSPIKE+求解器，本发明所提出的高精度PSPIKE+求解器求解精度和成功率高，求解速度快。

技术领域

本发明涉及一种高精度PSPIKE+求解器，用于求解线性系统，特别涉及双未知向量平衡系统构建、耦合矩阵引入以及内存占用低的平衡系统迭代求解器优化，属于高性能科学计算领域，在电磁场仿真、流体力学仿真、化学过程分析以及DNA电泳分析等方面均有应用。

背景技术

2017年，美国普渡大学的Yao Zhu等人提出了一种PSPIKE+求解器，用于求解具有广义中心带的线性系统，以提高线性系统的求解速度。该求解器直接求解的主要流程为：利用重叠分割的区域分解方法，将形如Fe＝h的线性系统分割为多个互相重叠并且尺寸较小的线性子系统；在每个子系统右手边的顶部重叠区域和底部重叠区域引入未知向量yⁱ；对每个子系统的系统矩阵进行求逆运算，得到逆矩阵；利用逆矩阵中的个别部分，构建用于求解未知向量yⁱ的平衡系统；求解平衡系统，得到向量yⁱ；将向量yⁱ代入每个子系统的右手边顶部和底部对应位置处，对子系统进行求解；合并子系统求解结果，得到向量e。其中，平衡系统的构建是PSPIKE+求解器的核心。

在构建平衡系统的过程中，PSPIKE+求解器利用向量yⁱ线性表示第i个子系统底部的向量yⁱ_b与下个子系统顶部的向量yⁱ⁺¹_t。线性表示关系包括：向量yⁱ_b等于yⁱ，向量yⁱ⁺¹_t是yⁱ的相反数；向量yⁱ_b和yⁱ⁺¹_t等于向量yⁱ；向量yⁱ_b等于α×yⁱ，向量yⁱ⁺¹_t等于(1-α)×yⁱ。由于这三种线性关系仅在特定情况下成立，导致PSPIKE+求解器的直接求解结果与真实结果存在一定差异。为解决这一问题，PSPIKE+求解器采用以下迭代步骤：利用复共轭梯度法(BICG)中相应的计算公式，根据预设的初始结果或上一次的迭代求解结果，分别计算表示结果残差的向量r_j+1、表示共轭空间中结果残差的向量r^t_j+1、表示梯度方向的向量pv_j+1和表示共轭空间中梯度方向的向量pv^t_j+1；利用直接求解器，分别以向量r_j+1和r^t_j+1作为右手边，矩阵F和F^T作为系统矩阵，求解向量z_j+1和z^t_j+1；分别计算向量r^t_j+1和z_j+1的内积以及F×pv_j+1和pv^t_j+1的内积，利用两组内积计算步长参数α_j+1；以pv_j+1为梯度方向，α_j+1为步长，计算更为准确的迭代求解结果；重复以上步骤，直到向量r_j+1的范数小于收敛阈值或超过最大迭代次数，停止迭代过程，并输出迭代求解结果。虽然在直接求解结果与真实结果差异较小时，PSPIKE+求解器可以利用上述迭代步骤获得较准确的迭代求解结果。但是，当直接求解结果与真实结果差异较大时，将存在求解速度慢，甚至无法收敛的情况。为此，本发明通过构建可直接求解向量yⁱ_t和yⁱ_b的平衡系统来替代PSPIKE+求解器中仅计算向量yⁱ(仅在特殊情况下可以表示向量yⁱ_t和yⁱ_b)的平衡系统，以提高求解结果的准确性。为实现新平衡系统的构建，引入了耦合矩阵。同时，为了使原平衡系统迭代求解器能够用于求解新平衡系统，对迭代求解器进行了优化。