[发明专利]一种基于快速数论转换的多项式快速求积方法

权利要求书

1.一种基于快速数论转换的多项式快速求积方法，其特征在于，对于(为多项式环，Φ_s(x)为分圆多项式)上的两个n(n为正整数)维多项式的乘积，包括如下：

(1)针对n＝2^k(k为正整数)，s＝2n，Φ_s(x)＝xⁿ+1，提出混合数论变换H-NTT(n,q,α,β)，其中，α,β均为整数且α≥0,β≥0，实现方法如下：

第一步，拆分，将n维多项式f,g拆分为2^α部分即

其中，多项式和的维数是n/2^α；

第二步，令在环中计算即

T-NTT为可调节裁剪层数的正向NTT方法，T-NTT^-1为与正向NTT方法对应的逆向NTT，为进行运算的两个多项式对应单项系数的模乘，在此步骤中，应用Karatsuba技术，即

第三步，合并，将2^α个多项式合并为n维多项式f,g的乘积h，即

(2)针对n＝3*2^m(m为正整数)，s＝3²·2^m(s为正整数)，提出G3-NTT(n,q,α,β)，其中，α,β均为整数且α≥0,β≥0，实现方法如下：

第一步，拆分，将n维多项式f,g拆分为3·2^α部分即

其中，多项式和的维数是n/3·2^α；

第二步，令在环中计算即

T-NTT为可调节裁剪层数的正向NTT方法，T-NTT^-1为与正向NTT方法对应的逆向NTT，为进行运算的两个多项式对应单项系数的模乘，在此步骤中，应用Karatsuba技术，即

第三步，合并，将3·2^α个多项式合并为n维多项式f,g的乘积h，即

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，H-NTT(n,q,α,β)和G3-NTT(n,q,α,β)两种方法的实现步骤，具体如下：

(1)对于H-NTT(n,q,α,β)，实现步骤如下：

S1：预处理方法，根据参数(n＝2^k,q≡1 mod(n/2^α+β-1),α,β)，提前计算H-NTT所需的数据：正向NTT方法、逆向NTT方法的长度N，N维多项式正向NTT方法、逆向NTT方法和点乘方法中需要用到的单位根的表zetas表和单位根的逆的表zetas_inv表；

S2：拆分方法，将n维多项式f,g分别拆分成2^α个N维多项式f_i,g_i,i＝0,1,…,2^α-1；

S3：可调节裁剪层数的正向NTT方法，将S2得到的两组2^α个N维多项式f_i,g_i,i＝0,1,…,2^α-1，分别转换为其中正向NTT方法的裁剪层数由β决定；

S4：点乘方法，将S3得到的根据具体的乘法运算规则，做对应单项系数的模乘，得到

S5：逆向NTT方法，其是可调节裁剪层数的正向NTT方法的逆过程，将S4得到的转换为2^α个N维多项式h_i,i＝0,1,…,2^α-1；

S6：合并方法，将2^α个N维多项式h_i,i＝0,1,…,2^α-1，合并为n维多项式h；

(2)对于G3-NTT(n,q,α,β)实现步骤如下：

S1：预处理方法，根据参数(n＝3*2^m,q≡1 mod n,α,β)提前计算G3-NTT所需的数据：正向NTT方法、逆向NTT方法的长度N，N维多项式正向NTT方法、逆向NTT方法和点乘方法中需要用到的单位根的表zetas表和单位根的逆的表zetas_inv表；

S2：拆分方法，将n维多项式f,g拆分成3·2^α个N维多项式f_i,g_i,i＝0,1,…,3·2^α-1；

S3：可调节裁剪层数的正向NTT方法，将S2得到的两组3·2^α个N维多项式f_i,g_i,i＝0,1,…,3·2^α-1，分别转换为其中正向NTT方法的裁剪层数由β决定；

S4：点乘方法，将S3得到的根据具体的乘法运算规则，做对应单项系数的模乘，得到

S5：逆向NTT方法，其是可调节裁剪层数的正向NTT方法的逆过程，将S4得到的转换为2^α个N维多项式h_i,i＝0,1,…,3·2^α-1；

S6：合并方法，将3·2^α个N维多项式h_i,i＝0,1,…,3·2^α-1，合并为n维多项式h。