[发明专利]一种城市排水管道的有限时间控制方法

权利要求书

1.一种城市排水管道的有限时间控制方法，其特征在于，该方法包括：

(1).建立城市排水管道系统状态空间模型；

基于流体力学原理建立排水管道系统模型：

x(k+1)＝Ax(k)+f(x(k))+Bu(k)

z(k)＝Lx(k)

其中，符号∑表示求和运算，符号Π表示连乘运算；

x(k)表示k时刻检测到的水流状态向量，x(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k)]^T，x₁(k)、x₂(k)、x₃(k)分别表示k时刻所测量的水位高度值、水流速度值和水压值，上标T表示矩阵的转置；

u(k)∈R^1×1表示k时刻的控制输入量，为排水管道上游进入管道的水流量与排水管道下游流出管道的水流量之差；

y(k)∈R^1×1表示k时刻排水控制系统的测量输出，为传感器测量到的水流状态通过网络传输到远程控制中心的测量值；

z(k)∈R^1×1表示k时刻排水控制系统待估计的输出信号；城市排水控制系统利用三个传输通道将各传感器节点的水务数据信息传输到集中控制中心，在检测到主传输通道发生数据丢失的情况下，冗余通道作为备用通道进行数据传输；

A∈R^3×3、B∈R^3×1、C_i∈R^1×3、L∈R^1×3为已知矩阵，i＝1,2,3；其中的C₁为水流状态数据从主传输通道传输到远程排水控制中心的映射矩阵，C₂和C₃为水流状态数据从两条冗余传输通道传输到远程排水控制中心的映射矩阵；

γ_j(k)是相互独立的随机序列，满足伯努利分布，j＝1,2,3；其中的γ₁(k)表示主传输通道传输数据时发生数据丢包的现象，γ₂(k)和γ₃(k)表示两条冗余通道传输数据时发生数据丢包的现象；是γ_j(k)的均值，即式中E{·}表示数学期望，Prob{·}表示随机事件的概率；

非线性扰动f(x(k))∈R^3×1，满足初始条件f(0)＝0和假设m∈R^3×1和n∈R^3×1都是任意向量，是已知矩阵，||·||表示向量或矩阵的欧几里得范数；

利用实测数据和计算机仿真技术，反复进行模型校验和修正；

(2).利用系统测量输出，构造动态输出反馈控制器：其中为控制器的状态向量，表示向量x(k)的估计值；F∈R^3×3、G∈R^3×1、H∈R^1×3为待求的控制器增益矩阵；

(3).动态输出反馈控制器求解；

给出闭环控制系统随机有限时间有界的充分条件，通过求解线性矩阵不等式，得到动态输出反馈控制器增益；

(3-1).引入增广向量得到增广系统：

其中，

(3-2).构建二次型函数V(η(k))＝η^T(k)Pη(k)；其中，P为维数适当的正定对称矩阵；

计算二次型函数V(η(k))＝η^T(k)Pη(k)沿着增广系统的差分，取期望得到：

得到：

其中，

对于任意标量μ＞0，得到有：

得到其中标量β≥1；

*表示对称矩阵中对应的对称项；

有E{V(η(k+1))}≤E{βV(η(k))}成立，通过递归计算得到：

E{V(η(k))}≤E{β^kV(η(0))}≤E{β^kη^T(0)Pη(0)}；

对于给定的已知正数b₁、b₂和正定对称加权矩阵R，若初始条件满足E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁，则对于给定的正整数U有E{η^T(k)Rη(k)}≤b₂；

令其中是给定的正定对称加权矩阵R的平方根的逆矩阵，则由给定的初始条件确定：E{V(η(k))}≤E{β^k(λ₁η^T(0)Rη(0))≤β^kb₁λ₁；

基于构造的二次型函数得到：其中，和分别表示矩阵的最大特征值和最小特征值；

对于任意k≤U，有

若不等式λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂成立，则保证对于给定参数b₁，b₂，U和矩阵R以及初始条件E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁，闭环系统是随机有限时间有界的；

由Schur补引理，等价于Π0，其中，

式中I表示维数匹配的单位矩阵，其中diag{…}表示块对角矩阵；如果同时满足Π0和λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂，则可保证闭环系统随机有限时间有界；

由Schur补引理，Π0等价于

(3-3).令H_s＝HW^T，G_s＝SG；其中X和Y为待求的正定对称矩阵，非奇异矩阵S和W满足条件SW^T＝I-XY；引入矩阵和令P＝Ψ₂Ψ₁^-1，Ψ₁，Ψ₂均可逆，且P正定对称；

令同时用和它的转置矩阵分别左乘和右乘矩阵不等式Ω0，得到矩阵不等式：

其中，

由Schur补引理，Ξ＜0等价于Φ+ωφ^T+φω^T＜0，其中Φ表示Λ的7阶顺序主子式，即：

其中，

Λ₆₁＝[LY L],

由Schur补引理，Φ+ωω^T+φφ^T＜0成立，当且仅当Λ0成立；

对于给定参数的b₁、b₂、U、R、β≥1，如果存在正定对称矩阵X和Y以及矩阵F_s、G_s、H_s、正标量μ，使得线性矩阵不等式Λ0有解，且在给定的初始条件E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁下，满足有限时间有界条件λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂，则有限时间动态输出反馈控制器的增益矩阵为：